Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
В качестве другого приложения мы докажем
Следствие 3.3. Если модуль PR проективен как R-модуль, а бимодуль RP'S проективен как S-модуль, то тензорное произведение Р Р" является проективным S-модулем.
Доказательство. Высказывание о S-проективности Р" означает, что для каждого эпиморфизма S-модулей В С индуцированное отображение Homs (Р\ В) Homs (Р\ С) является эпиморфизмом /?-мо дулей. Поскольку Р проективен как /^-модуль, отображение
Нотл(Р, Homs (Р', В)) —> Нотл (Р, НошS(P', С))
§ 4. Сопряженные модули
191
есть эпиморфизм. Применение сопряженной ассоциативности к каждому члену этого отображения показывает, что Р Р' — проеК' тивный S-модуль.
Упрощенным аналогом сопряженной ассоциативности является ассоциативность тензорного произведения. В ситуации Лд, RBs, SC соответствие (а Ь) ® с a <g) (b <g) с) порождает естественный изоморфизм
(Л ® RB) ®s А ® Д(В ® вС). (3.8)
Если дополнительно имеем VAR и ВСТ, то этот изоморфизм есть изоморфизм U-Т-бимодулей. Мы обычно будем отождествлять оба члена из (3.8) при помощи указанного изоморфизма.
Для модулей Лн, RB мы также вводим отождествление
A®bR = A, R®rB = B (3.9)
при помощи естественных изоморфизмов a <g) г аг и г ® b -*¦ rb.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Если А и В—левые /?-модули, то показать, что Нош/ (А,В) является /?-#-бимодулем и что подгруппа HomR (А, В) состоит из тех групповых гомоморфизмов /: А -*¦ В, для которых г/ = fr.
2. Для модулей Gr и дЛ показать, что G (?)д А есть Endjj (G) -EndR (А)-бимодуль.
3. Для fl-S-бимодулей С и Л определить группу Extfl-s (С, А) бимо-дульиых расширений А при помощи С.
4. Установить «перестановочную» сопряженную ассоциативность
Нот (А ® В, С) и Нот (В, Нот (Л, С)).
Вывести отсюда, что если jjPr — проективный tZ-модуль, a RP' — проективный /?-модуль, то /> (Эд -Р' есть проективный U-модулъ.
5. В ситуации Лк, Вк, Ск, где К — коммутативное кольцо, установить естественный изоморфизм Нотк (Л, Нотк (В, С)) е Нотк (В, Нотк (Л, С)) для К-модулей.
§ 4. Сопряженные модули
Сопряженным или дуальным (двойственным) к левому /?-моду-лю А называется правый R-модуль Л* = Ношв (Л, R). Таким образом, элемент из А*—это jR-модульное отображение /: Л->•
R, в то время как fr \ АR есть /^-модульное отображение, определенное для каждого элемента а ? Л равенством (fr) а = = (fa) г. Сопряженным к /^-модульному гомоморфизму а : Л —>Л' является гомоморфизм а* = Нош (а, 1): Л'*-> Л*, так что сопряженность — это контравариантный функтор из категории
192
Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
левых модулей в категорию правых модулей. Аналогично сопряженным к правому ^-модулю G является левый Я-модуль G*.
Для левых модулей Л и В имеется естественный изоморфизм
(Л©В)*^Л*©В*. (4.1)
Действительно, в диаграмме прямой суммы А ^ А @ В ^ В возьмем вместо каждого объекта сопряженный объект, а вместо каждого отображения — сопряженное отображение; в результате мы опять получим диаграмму прямой суммы, при этом вложения iA : Л А @ В и iв станут проекциями ii : (Л @ В)* А* и i|.
Ввиду свойств функтора Нот короткая точная последовательность Л >-» В С индуцирует точную слева последовательность С* >-» В* -> Л*. Другими словами, если Л с= В, то модуль (В/А)* s* о* С* изоморфен подмодулю модуля В*, который состоит из всех гомоморфизмов / : В -*¦ R, аннулирующих Л. Назовем этот подмодуль аннулятором модуля Л, обозначение: Annih Л; значит,
(В/А)*ш Annih Л czB*, B*/Annih Л>-> А*. (4.2)
Для каждого левого R-модуля Л существует естественный гомоморфизм
фА:Л—>Л** = Нотн(Нотв(Л, R), R), (4.3)
который сопоставляет каждому элементу а 6 Л отображение фа : Л* R, (фа) f — f (а). Другими словами, выражение / (а) при фиксированном а рассматривается как линейная функция элемента / 6 А*.
Теорема 4.1. Если L — конечно порожденный проективный левый R-модуль, то L* — конечно порожденный проективный правый R-модуль. Для такого модуля L отображение ф : L L** является естественным изоморфизмом.
Доказательство. Если F — свободный модуль с образующими Si, . . ., вп, то мы можем определить элементы е’ в F*, положив
«'<*)=(!' если‘=л О, если i Ф ].
Любой гомоморфизм / : F R однозначно определяется элементами fet = ti 6 R, следовательно, / = 2 ehj и F* — свободный модуль с образующими ех, . . ., еп. Говорят, что они образуют базис, сопряженный к базису еи . . ., е„. Отображение (pF переводит et в базисные элементы, сопряженные к е>, и поэтому фF : F -> F** — изоморфизм.
§ 4. Сопряженные модули
193
Если L — конечно порожденный проективный модуль, то существует такой свободный модуль F с конечным числом образующих, что F -» L и F L 0 L'; модуль L" также конечно порожден и проективен. Следовательно, F* ^ L* 0 V* и L 0 L' ^ F ^ F** ^ a* L** 0 L’**\ при этом изоморфизме L отображается на L** с помощью cpL, откуда и вытекает наше утверждение.
