Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
sCr & тЛд =#¦ т[Ношн (С, Л)]^, (3.2)
где бимодульная структура справа определяется, если для каждого гомоморфизма /: С -*¦ А положить (tfs) (с) = t [/(sc)]. Читатель должен убедиться в том, что таким образом порождается T-S-бимодуль, заметив, что бимодульные тождества ассоциативности s (cr) = (sc) rut (ar) = (ta) г используются при установлении гомо-морфности отображения tfs правых /^-модулей, если / — такой гомоморфизм. Следует отметить также, что контравариантность функтора Ношн по аргументу С изменяет левые операторы из S в С на правые операторы из S в Ношв (С, Л). В случае S = Т группа Homs-й (С, А) бимодульных гомоморфизмов может быть описана как множество всех тех элементов / S-S-бимодуля Ношв (С, Л), для которых sf = /s. Для гомоморфизмов левых модулей аналогом
(3.2) является импликация
rPb & дЛг=#> а[Ногпд (С, Л)]т. (3.3)
Эндоморфизмом правого ^-модуля Л по определению считается ^-модульный гомоморфизм /: А А. Относительно сложения
§ 3. Бимодули
189
и умножения множество всех ^-эндоморфизмов модуля А образует кольцо Endfl (А) = Ноти (Л, Л) с единицей 1А. Равенство (fa) г — = f (аг), которое утверждает, что / — гомоморфизм правых ^-модулей, утверждает также, что Л есть EndB (А)-Я-бимодуль. Если sAr — бимодуль, то левое умножение /* на элемент s 6 S, определяемое как lsa = sa, есть R-эндоморфизм модуля Л, а соответствие s-»- ls является кольцевым гомоморфизмом S -> EndB (Л). Обратно, если дан модуль Лд и кольцевой гомоморфизм S -> EndH (Л), «отступление» вдоль этого гомоморфизма определяет бимодуль SAB. При нашем изучении ExtB (С, А) (гл. III) мы показали, как умножать элемент S0 6 6 Ext? (С, Л) слева на гомоморфизм а : А -*¦ А' и справа на гомоморфизм у : С’ С; при этом мы доказали (лемма II 1.1.6) конгруэнтность (aS0) Y = а ($оУ)- Для эндоморфизмов а и у это означает, что ExtS (С, А) есть EndB (Л)-EndH (С)-бимодуль. Если мы «оттянем» эту бимодульную структуру вдоль T-*-EndBC и S-vEnd^, то мы получим импликацию
ТСВ & яЛв =#>s[Extfl (С, А)]т, (3.4)
такую же, как и в (3.2) при п = 0.
Функция от двух переменных f (а,Ь) может быть превращена в функцию г]/ первого переменного а, значениями которой являются функции второго переменного, в соответствии с формулой [(r\f) a]b = = / (а, Ь). Эта замена двух аргументов, независимых друг от друга, последовательньми аргументами появляется во многих случаях, например при изучении топологии пространств функций. В настоящем контексте она принимает следующую форму, которую мы назовем сопряженной ассоциативностью Нош и (§).
Теорема 3.1. Если R и S — кольца, а А, В и С — модули, находящиеся в ситуации Лв, RBS, Cs, то существует естественный изоморфизм абелевых групп
¦Л : Homs (A <g> RB, С)^Ношв(Л, Homs(B, С)), (3.5)
определенный для каждого гомоморфизма f: А ® в В С посредством формулы
[(r\f)a](b) = f(a®b), а?А, b?B. (3.6)
Доказательство проводится непосредственно. Именно, сначала устанавливаем, что (3.6) сопоставляет каждому элементу а ? А и каждому S-модульному гомоморфизму / : Л <g)B В -*¦ С функцию F ~ К1!/) а], которая как функция аргумента b является S-гомоморфизмом [(nf) a]: B-v С. Затем проверяем, что г|/ как функция от а есть /^-модульный гомоморфизм Л в Homs (В, С). Наконец, устанавливаем, что ri (Д + /г) = л/i + 'П/г, так что т] — групповой гомоморфизм, что и утверждалось.
190 __________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
Для доказательства изоморфности ri построим обратное отображение ?. Для этой цели возьмем произвольный правый ^-модульный гомоморфизм g: А -*¦ Homs (В, С) и рассмотрим функцию iga) b, а ? А, ЬЕВ. Любой элемент г из R действует на а справа, а на Ъ слева, причем
[g(ar)](b) = [(ga)r)b = (ga)(rb).
Это равенство имеет место потому, что g есть ^-модульный гомоморфизм и в силу определения действия г на гомоморфизм ga: В-*- С. Это равенство есть свойство «внутренней ассоциативности» для функции (ga) Ь от аргументов а и Ь. Следовательно, по теореме 1.1 отображение
(lg) (a®b) = (ga) Ь
определяет гомоморфизм : А В-*-С. Устанавливается, что ?: Ношл (A, Homs (В, С)) -*¦ Homs (А ®в В, С) есть гомоморфизм и что оба произведения и ti? равны тождественным отображениям. И область определения, и область значений С являются значениями функторов от аргументов А, В и С, ковариантных по С и контра-вариантных по Л и В. Более того, С и т) являются естественными гомоморфизмами этих функторов.
Следствие 3.2. Если U, R, S и Т — кольца, a VAR, RBS, TCS — бимодули, mo отображение т] из (3.5) является изоморфизмом Т-U-бимодулей. Если U = Т, то г\ индуцирует естественный изоморфизм
v\': HomT-s (А ® ЛВ, С) a* HomT.H (A, Homs (В, С)). (3.7)
Доказательство. Описание правой (/-модульной структуры на членах формулы (3.5) и описание этих же членов как функторов аргумента А даются идентичными формулами. Значит, из естественности т] (по Л и С) следует, что т] есть Т- {/-модульный гомоморфизм. В случае U — Т из сказанного вытекает (3.7).
