Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Тензорное произведение А <8>кВ модулей А и В над коммутативным кольцом К является не только абелевой группой, но даже К-модулем, если умножение на элементы из К (для образующих) определить следующим образом:
k (a <g) b) = (ka) <g) b (или = a(&kb). (2.1)
Это определение приводит к видоизменению теоремы 1.1. Пусть А, В и М являются К-модулями. Назовем функцию /, определенную на А хВ со значениями в М, К-билинейной, если / (а, Ь) есть К-линейная функция каждого аргумента при фиксированном другом аргументе (т. е. f (ktai + k2a2, b) = k{f (au b) + + k2f (02, b)). Значит, a <8> b — это К-билинейная функция из А х В в А ®к В, и из теоремы 1.1 следует, что любая К-билинейная функция / из А хВ в М может быть записана в виде / (а, Ь) — со (a <g) b), где со — однозначно определенный гомоморфизм К-модулей со : A <g)KВ -*¦ М.
Поскольку тензорное произведение А®кВ также является К-модулем, можно образовать итерированное тензорное произведение типа (А В) ®кС; это итерированное произведение ассоциативно и коммутативно в том смысле, что отображения \ [(a <g) <g) b) <g) с] = a <g) (b <g) с) и t (a ® b) = b ® а определяют естественные изоморфизмы
Д: (А О В) ® Л® (5® С), t: А ® В^В О Л (2.2)
§ 2. Модули над коммутативными кольцами
187
К-модулей; где 0 есть сокращение для ®к- Функция (а0 Ь) 0 с будет К-трилинейна (т. е. К-линейна по каждому аргументу в отдельности) и универсальна среди всех К-трилинейных функций, определенных в А хВ хС со значениями в К-модулях. То же самое верно для К-полилинейных функций любого числа аргументов.
Аналогично (см. 1.6) группа Нотк (А, В) становится К-моду-лем, если для каждого гомоморфизма /: А В кратное kf : А В определить как (kf) (а) = k (fa).
Модуль над полем F — это просто векторное пространство V, г Ногл^ (V, W) — это векторное пространство всех линейных преобразований / : V -*¦ W. Предположим, что V и W имеют конечные базисы {elt . . ., ет} и {ки . . ., hn} соответственно. Это значит, что V есть прямая сумма 2Fet копий Fet поля F. Поскольку функтор Нош переводит конечные прямые суммы в прямые суммы, Нот*. (V, W) есть векторное пространство размерности тп согласно обычному представлению линейных преобразований / :V -*~W матрицами размера т хп. Поскольку тензорное произведение аддитивно, пространство V 0F W имеет базис из тп векторов e? 0 hj и, следовательно, имеет размерность тп. В частности, любой вектор «из V 0F V однозначно представим в виде и = 2 xiS (et 0ej); tri1 констант xli 6 F известны как «компоненты» тензора и относительно базиса {е*}. При изменении базисов можно вычислить соответствующее изменение этих компонент х'К Классический тензорный анализ, использующий строго аксиоматическое определение тензорного произведения, описывает двухвалентные ковариантные тензоры (элементы и из V 0F V) строго в терминах таких компонент и их преобразований при изменении базиса. Тензор с одним ковариантным и одним контравариантным индексами является по определению элементом из V 0F V*, где У* = = Homj. (У, F) — сопряженное пространство. В этом случае базис {et} определяет сопряженный базис {е1} в V*. Любой тензор из
V 0F V* имеет единственное представление в виде суммы 2 х) (et 0 е1) и поэтому определяется своими компонентами х), i, j = 1, . . . , n.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть новый базис {е*} конечномерного пространства V задан формулами ^у t{eJ- Вычислить соответствующее преобразование компонент
a) дваждь* ковариантиого тензора из V 0р V\
b) тензора из V 0р V*.
2. Описать преобразование компонент для тензоров, ковариантных по г индексам и контравариантных по s индексам.
188_____________Гл. V. Тензорное и периодическое умножения
§ 3. Бимодули
Если R я S — два кольца, то ^-S-бимодуль А (обозначение ИЛЯ) — это абелева группа, являющаяся одновременно левым ^-модулем и правым S-модулем, причем имеет место тождество (ra)s=r(as). Например, любое кольцо R есть R-R-бимодуль; любой левый ^-модуль можно рассматривать как ^-Z-бнмодуль; любой К-модуль над коммутативным кольцом К есть К-К-бимо-дуль и т. д. Если Л и В являются /J-S-бимодулями, то мы обозначим через Ношд-s (Л, В) абелеву группу всех бимодульных гомоморфизмов /: Л В, т. е. группу всех таких групповых гомоморфизмов /, для которых г (fa) s = / (ras) тождественно. Бимодуль RAS с помощью кольцевых гомоморфизмов р: R'R и a:S'-vS превращается в Я'-Я'-бимодуль рЛа.
Функторы Нош и ® переводят подходящие бимодули в бимодули. Для того чтобы показать, как это происходит, возьмем любые три кольца Т, R и S. Тогда имеет место импликация
т^л & дЛа=Ф T[G ® д Л]^, (3-1)
где бимодульная структура, указанная справа, определяется на образующих согласно теореме 1.1 следующим образом: t (g ® a) s— = tg <g> as. Заметим, что формула t (g 0 а) = tg 0 а, которая превращает G ® Л в левый модуль над Т, по существу, совпадает с формулой у (g <g) a) = (yg) (g) а, которая превращает G®ВЛ в ковариантный функтор аргумента G. Аналогично имеется импликация
