Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. Пространства с операторами
181
тивной группе С* комплексных чисел, отличных от нуля. Поэтому «мультипликатор» Шура — это группа когомологий Н2 (П,С*) с тривиальной П-модульной структурой в С*. (Из современной литературы см. Асано — Сёда [1935], Фрухт [1955], Кохендёрфер [1956].)
Проективные представления бесконечных групп изучались Макки [1958]. Трехмерные группы когомологий группы впервые рассматривались Тейхмюллером [1940] при изучении простых алгебр над числовым полем. Когомологии групп широко применялись в теории полей классов: Хох-шнльд [1950], Тэйт [1952], Артин — Тэйт [I960].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что множество V тогда и только тогда открыто в Х/П, когда р_1У открыто в X. (Это означает, что Х/Н имеет стандартную топологию «факторпространства».)
2. Построить в явиом виде гомеоморфизм между Д” и 1п.
/
Тензорное и периодическое умножения
§ 1. Тензорные произведения
Пусть G — правый /^-модуль, а А — левый /^-модуль; эту ситуацию мы будем отмечать как GR, RA. Тензорным произведением G А этих модулей называется абелева группа, порожденная символами g® а, где gdG, а ? А, связанными соотношениями
(?+?') ® a = g<S> a + g' ® a, g ® (а + а') = g ® a+g ® а', (1.1)
gr ®a = g®ra, а?А, r?R, g?G. (1.2)
Более формально, это определение описывает группу G А как факторгруппу (G°.4)/S, где G ° А—свободная абелева группа, образующими которой служат все символы g ° а, а
S — подгруппа группы G ° А, порожденная всеми элементами вида (g + g’) ° а — g о а — g" ° a, g ° (а + а') — g ° a — g ° а’ и gr о а — g о га. Тогда символ g ® а обозначает смежный класс (g о а) + S из (Go Л)А!5.
Замысел этого построения состоит в том, что в группе G А каждый элемент из А можно «умножить» на любой элемент из G и получить «произведение» g 0 а; при этом желательно, чтобы произведение было дистрибутивным в смысле (1.1) и ассоциативным в смысле (1.2). Более точно, пусть GxA — прямое произведение множеств G и А, а М — произвольная абелева группа. Назовем функцию / из G хА в М биаддитивной, если тождественно имеют место соотношения
f(g + ga) = f(g, a)+f(g', a), f(g, a + a') = f(g, a) + f(g, a');
(1.3)
назовем функцию внутренне ассоциативной, если всегда
f{gr, a) — f(g, га). (1.4)
Если функция / удовлетворяет обоим условиям, то назовем ее внутренне линейной. Тогда функция g ® а внутренне линейна по определению, а группа G ®н А является универсальной областью
§ 1. Тензорные произведения
183
определения для любой внутренне линейной функции f в следующем смысле.
Теорема 1.1. Если даны модули GR и ВА и внутренне линейная функция f из G х А в абелеву группу М, то существует единственный гомоморфизм со : G ®R А М абелевых групп, для которого со (g ® а) = f (g, а).
Доказательство. Формула со (g <g> а) — f (g, а) определяет со на образующих группы G <g>H А; из предположения о внутренней линейности / следует, что со «сохраняет» соотношения (1.1) и (1.2), определяющие группу G Л. Следовательно, со — гомоморфизм и притом, очевидно, единственный, обладающий нужными свойствами. Это доказательство есть сокращенное изложение следующего рассуждения: поскольку G ° А — свободная абелева
группа с образующими g ° а, существует единственный гомоморфизм со': G о А -*¦ М, для которого со' (g о а) = f (g,a). Предположения о f показывают, что со' отображает подгруппу S в нуль. Следовательно, со' разлагается в произведение G ° А
(G о A)/S М; второй множитель этого разложения и есть искомый гомоморфизм со.
Эта теорема имеет много приложений. Во-первых, она дает универсальное свойство группы M0 = G(g)RAt которое однозначно (с точностью до изоморфизма М0) характеризует эту группу и внутренне линейную функцию ® : G хА -> М0. Поэтому эта теорема может рассматриваться как аксиоматическое определение тензорного произведения. Во-вторых, эта теорема утверждает, что всякая внутренне линейная функция / может быть получена из одной такой функции <g) при помощи умножения на групповой гомоморфизм со; в этом смысле теорема сводит внутренне Линейные функции к гомоморфизмам. Наконец, теорема утверждает, что гомоморфизм со с областью определения G ® R А однозначно определяется заданием образов символов g ® а относительно со при условии, что эти образы аддитивны по g и а и внутренне ассоциативны относительно элементов из R.
Последнее утверждение мы будем постоянно использовать при построении отображений со.
Например, если у: GR-*~ G'R и a: RA RA* суть 7?-модульные гомоморфизмы, то в группе можно образовать элементы
yg <g) аа, причем они будут внутренне ассоциативны и аддитивны по g ? G и а ^ А. Следовательно, существует гомоморфизм У <8> а : G <g)R А ->¦ G'®rA', такой, что (у (g) a) (g <g) а) = yg(g аа. Очевидно, что 1« <g) 1А = 1 и что для согласованных отображений уу’’ ® аа' = (у <g) а) (у' <g)a'), значит, G <g)B А — ковариантный бифунктор от аргументов Л и G. Кроме того,
