Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если симплекс Т «мал», т. е. Т (Дп) содержится в собственном открытом подмножестве V из Х/П, и если U — произвольный лист над V, то Т накрывается отображением Г' = (р | I))-1 Т в U. Общий случай может быть сведен к рассмотренному разбиением Дп на малые куски и последовательным накрытием Т на этих кусках. Технически проще сделать это, заменив Д" на n-мерный куб /” = / х . . . X/ (я множителей), где / — единичный интервал. Поскольку Дп и 1п гомеоморфны, достаточно накрыть отображение Т: 1п-*-Х/П. Куб .Г покрывается прообразами Т-1 (V) собственных открытых множеств из Х/П. Поскольку 1п — компактное метрическое пространство, по лемме Лебега существует такое действительное е > 0, что каждое подмножество
§ 11. Пространства с операторами
179
с диаметром, меньшим чем е, лежит в одном из Т~х (У). Теперь разобьем 1п на конгруэнтные n-мерные кубы с диаметром, меньшим е, и ребрами, параллельными осям. Тогда Т можно последовательно накрыть на кубах этого разбиения, начиная с кубов, лежащих на нижнем основании. Когда приходится накрывать Т на одном из кубов, то непрерывное накрытие Т" оказывается определенным на некотором связном множестве граней этого куба, целиком содержащемся внутри одного листа U над некоторым собственным множеством V; на остатке куба Т накрывается тогда при помощи (р | ?/)-1-Этим доказательство закончено.
Предложение 11.4. Если группаЛ действует, собственным образом на пространстве X, а абелева группа А имеет тривиальную П-модульную структуру, то отображение р: X -*¦ Х/П индуцирует изоморфизм р*: Homz (S (Х/П), А) а* Ношп (S (X), А) цепных комплексов и, следовательно, изоморфизм
р*:Нп(Х/П, А) ^ Нп (Ношп (S (X), А)). (11.1)
Доказательство. Коцепь /: Sn (Х/П) ->¦ А однозначно определяется своими значениями на n-мерных симплексах Т из Х/П, в то время как коцепь /' из S (X), будучи модульным гомоморфизмом Sn (X) -> А, однозначно определяется значениями на свободных образующих Т" модуля Sn (X). Поскольку эти образующие находятся во взаимно однозначном соответствии Т*
рТ' с образующими модуля S (X /П) в силу леммы 11.3 и поскольку (p*f) Т' — f(pTf), утверждение доказано.
Вообще, если А — произвольный П-модуль, то группы когомологий комплекса Ношп (S (X), А) известны как группы экви-вар иантных когомологий пространства X с коэффициентами из А; в этой общей ситуации теорема остается верной, если Нп (Х/П, А) интерпретировать кай группу когомологий пространства Х/П с «локальными коэффициентами» из А, определенными так, как это было сделано Эйленбергом [1947] и Эйленбергом и Маклейном [1949]. Теперь мы докажем основной результат.
Теорема 11.5. Если группа П действует собственным образом на ацикличном пространстве X и если А — абелева группа с тривиальной П-модульной структурой, то существует изоморфизм
Я"(Х/П, А)^НП(П, А), л = 0, 1, ..., (11.2)
естественный по аргументу А, между группами когомологий фак-торпространства Х/П и группами когомологий группы П.
Доказательство. Предположение об ацикличности пространства X означает, что Я„ (S (X)) = 0 для п > 0 и Я0 (S (X)) ^ е* Z. Последний изоморфизм порождает эпиморфизм S0 (X) -> Z
12*
180
Гл. IV. Когомология групп
с ядром dSi (X). Значит, точная последовательность П-модулей ... Si (X) ->S0 (X)
является свободной резольвентой тривиального модуля Z. Следовательно, эквивариантные группы когомологий для S (X) равны ExtS(n) (Z,А), а в силу следствия 5.2 и Нп (П, А).
Система (X, П), состоящая из топологического пространства с собственной группой операторов П, может рассматриваться как объект категории, морфизмами р: (Х,П) -> (Х'ДГ) которой являются пары р = (?, у), где ? : X X" — непрерывное отображение, а у : П П' — групповой гомоморфизм, причем для всех
* 6 X и а 6 П выполняется ? (ах) = (уа) Изоморфизм (11.2) естествен относительно этих отображений.
Эта теорема дает геометрическую интерпретацию для всех групп когомологий группы П. Предположим известными некоторые понятия теории гомотопий. Пусть У— линейно связное топологическое пространство с фундаментальной группой П = rtj (У). Тогда, если Y имеет соответствующую локальную связность, то можно построить универсальное накрывающее пространство; это пространство, в котором группа П действует собственно таким образом, что
Y гомеоморфно Х/П. Предположим, что У асферично (т. е. все высшие группы гомотопий исчезают). Тогда можно доказать, что универсальное накрывающее пространство ациклично. С помощью теоремы 11.5 убеждаемся в том, что группы когомологий асферичного пространства Y в действительности изоморфны группам когомологий фундаментальной группы пространства Y.
Замечания. Тот факт, что когомологии асферичного пространства Y зависят только от фундаментальной группы, был доказан Гуревичем (1935], а выражение этой зависимости с точки зрения когомологий групп было установлено Эйленбергом и Маклейном [1943, 1945b] и независимо позднее Экманом [1945 —1946]. Имеется соответствующий результат, выражающий гомологии пространства У через гомологии группы П, найденный Хопфом [1945] и независимо от него Фрейденталем [1946]. Все эти исследования были стимулированы работой Хопфа [1942] о влиянии фундаментальной группы на вторую группу гомологий пространства. Это направление исследований послужило толчком для изучения групп когомологий всех размерностей и явилось исходным пунктом гомологической алгебры. Одномерные группы когомологий (скрещенные гомоморфизмы) были известны давно; двумерные группы когомологий в облике систем факторов появились также достаточно давно при изучении расширений групп Шрейером [1926], Бэром [1934, 1935], Холлом [1938] и Фиттингом [1938]. Ранее Шур рассматривал проективные представления р гругуш П. Каждое представление р есть гомоморфизм П в группу проективных коллинеаций комплексного проективного л-мерного пространства и, следовательно, может быть представлено как множество (л + 1)Х(л + 1) невырожденных комплексных матриц Ах для х 6 П, причем АхАу = f (х, у) Аху, где / (х, у) — комплексное число, отлич-яое от нуля. Эти числа / образуют систему факторов для П в мультиплика-
