Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 71

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 227 >> Следующая

Обозначим через ^ (х) класс автоморфизмов, содержащий {J {х). По (9.2) г|з — это гомоморфизм г|з : П Aut G/In G, значит, (II,G, if)—абстрактное ядро. Поскольку группа П отлична от циклической группы порядка 2, мы можем считать, что в П имеется более чем два элемента. Тогда свободная группа F имеет более одного образующего, и поэтому без центра, так что группа С в точности совпадает с центром группы G — С xF. Но наше построение было задумано так, чтобы получить k как препятствие для данного ядра. Тем самым теорема доказана.
Нами установлено соответствие между абстрактными ядрами с центром С и группой Я3 (П, С). Это соответствие можно преобразовать таким образом, чтобы получился групповой изоморфизм. Сначала надо определить отношение подобия между абстрактными ядрами: два ядра подобны тогда и только тогда, когда они имеют общее препятствие. Относительно подходящего произведения ядер группа классов подобия ядер (П, G, if) с фиксированной группой П и фиксированным П-модулем С в качестве центра становится изоморфной группе Я3 (П, С). Подробности даны в работе Эйленберга и Маклейна [1947].
Какая-либо разумная аналогичная интерпретация групп Я4 (П, С) или групп когомологий более высоких размерностей неизвестна.
§ 10. Теорема Шура
Теперь мы применим системы факторов к одной задаче теории групп.
Для любого множества S совокупность Aut S всех взаимно однозначных отображений S на себя является группой относительно умножения отображений. Говорят, что (мультипликативная) группа G действует на множестве S, если задан гомоморфизм [х : G-> Aut S. Эквивалентно, для каждого элемента g € G и каждой «точки» s 6 S однозначно определена точка gs = ц (g) s в S, причем (gig2) s —
— gi (gzs) и Is = s. Траекторией точки s0 в S относительно действия группы G называется множество всех точек gs0, где g в G; любая другая точка в этом подмножестве имеет ту же траекторию. Все множество S является объединением попарно непересекающихся траекторий. Множество всех элементов h 6 G, для которых hs0 = = s0, есть подгруппа Я, называемая группой фиксирующей So-Соответствие gH -> gs0 является взаимно однозначным отображени-
§ 10. Теорема Шура
173
ем левых смежных классов G по Я на траекторию точки s0. По определению число таких смежных классов — это индекс [G : Я! подгруппы Я; если индекс конечен, то, следовательно, конечно число точек траектории. Значит, когда конечная группа G действует на множестве S, число точек в каждой траектории является делителем порядка группы G.
Возьмем за S множество всех подгрупп U данной группы G. Соответствие U -*¦ gUg-1 определяет действие G на S; говорят, что G действует на S с помощью трансформирования. Аналогичным образом группа G (или любая ее подгруппа) действует с помощью сопряжения на множестве элементов этой группы.
Теорема 10.1. (Теорема Коши.) Если порядок п конечной группы G делится на простое число р, moG содержит элемент порядка р.
Доказательство проводится индукцией по п. Пусть G действует на множестве своих элементов с помощью сопряжения. Траектория элемента с состоит только из с в том случае, когда gcg-1 = с для всех g 6 G, т. е. тогда, когда с лежит в центре С группы G. Пусть т обозначает порядок подгруппы С, a ki > 1 — число точек в i-й траектории, не лежащей в С, t= 1, . . ., t. Поскольку G есть объединение непересекающихся между собой траекторий, имеем л = т -f- ki -f- . . .-f- kt.
Если т делится на р, то представим абелеву группу С как прямую сумму циклических групп; тогда одно из слагаемых имеет порядок, который делится на р и поэтому содержит элемент порядка р. С другой стороны, если тир взаимно просты, то хотя бы одно из чисел kt также взаимно просто с р. Но ki — это число точек некоторой траектории и, значит, равно индексу [G : Я] некоторой подгруппы. Поскольку р не делит ku порядок подгруппы Я делится на р. По индуктивному предположению в Я содержится элемент порядка р.
Группа называется р-группой, если порядок каждого элемента является степенью простого числа р. По теореме Коши конечные р-группы можно также описать как группы, порядок которых есть степень простого числа р.
Теорема 10.2. Любая конечная р-группа Ф\ имеет центр Сф 1.
Доказательство. Пусть р-группа действует с помощью сопряжения на множестве своих элементов. Каждая траектория состоит из рт* точек для некоторого показателя тг > 0; вместе во всех траекториях имеется рп элементов группы. Поскольку траектория 1 состоит только из 1, рп = 1 + 2pm*. Следовательно, по
174
Гл. IV. Когомология групп
крайней мере еще р — 1 траекторий состоят только из одного эле* мента с. Эти элементы лежат в центре С, и поэтому С Ф 1.
Максимальная р-подгруппа — это р-группа Р с С, которая не содержится ни в какой большей р-подгруппе группы G. В силу теоремы Коши конечная группа порядка п имеет по крайней мере одну максимальную р-подгруппу ф 1 для каждого простого делителя р числа п.
Говорят, что подгруппа U группы G нормализует подгруппу V, если uVu-1 = V для всех и ? (У, т. е. если V — одноточечная траектория при действии U на подгруппы из G.
Предыдущая << 1 .. 65 66 67 68 69 70 < 71 > 72 73 74 75 76 77 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed