Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
LA = {все конечные суммы 2/гаг для аг?Л}
является подмодулем модуля А, называемым произведением идеала L на модуль А. В частности, произведение двух левых идеалов LU есть левый идеал, и (LU) А = L (L' А).
Пусть А. я В суть R-модули. Обозначения а : А В или Л Д. В указывают, что а есть R-модульный гомоморфизм Л в В, т. е. такое отображение А в В, что
а(а+а') = аа+аа/, а(га) = г(аа).
Если а : Л В, то А назовем областью определения, а В — областью значений а. Образ 1ш (а) = а Л состоит из всех элементов вида а а, а 6 Л; он является подмодулем области значений В. Ядро Кег (а) состоит из всех элементов а 6 Л, для которых а а = 0; оно является подмодулем области определения Л. Если аЛ = В, то мы будем говорить, что а — эпиморфизм, и писать а : Л -» В; если же Кег (а) = 0, то будем говорить, что а — мономорфизм, и писать а : Л » В. Наконец, а — изоморфизм, если а одновременно является и эпиморфизмом, и мономорфизмом. Для каждого модуля Л тождественное отображение 1А : Л Л есть изоморфизм. Для любых модулей Л и В нулевая или «тривиальная» функция 0, рав-
22
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
ная 0 для всех а ? А, есть гомоморфизм 0: А -*• В. Гомоморфизм со : А -> А с совпадающими областями определения и значений называется эндоморфизмом.
Пусть ocj, а2 : А В — гомоморфизмы с общими областями определения и значений. Тогда отображение at + «г» определенное равенством (at + a2) а = a,a + a2a, есть /^-модульный гомоморфизм a! -f- a2: A В, называемый суммой и a2.
Если a: Л -> .6 и Р: В С суть ^-модульные гомоморфизмы, то произведение Ра также является /^-модульным гомоморфизмом Ра : А С. Следует напомнить, что указанное произведение опре-
делено только тогда, когда область значений гомоморфизма а совпадает с областью определения гомоморфизма р.
Умножение гомоморфизмов ассоциативно, если оно имеет смысл. Обратным (двусторонним) к a : А -*¦ В называется такой гомоморфизм а-1 : В -*¦ А, что аа_1= 1в и а-1а= 1А. Отображение а обладает обратным тогда и только тогда, когда а есть изоморфизм, и в этом случае обратный гомоморфизм единственен. Мы будем писать a : А ^ В, если a — изоморфизм. Левым обратным к а называется такой гомоморфизм у : В-*- А, что усе, = 1д: он не обязан существовать или быть единственным.
Говорят, что пара гомоморфизмов (a, Р)
А Л вХс
mowa в В, если Ker р = Im а. Последовательность гомоморфизмов Ai Дл2ДЛ3-> ... Ап^^Ап
считается тонной, если пара (а*.,, аг) точна в Аи i = 2, ... п — 1.
Для каждого подмодуля Т а В вложение есть мономорфизм / : Т В. Для каждого b 6 В множество b + Т всех сумм вида b + t, где t 6 Т, называется смезтым классом модуля В по подмодулю Т; два смежных класса либо не пересекаются, либо совпадают (причем последнее имеет место при by — 62 6 Т). Напомним, что факторгруппа BIT состоит из смежных классов В по Т, а сложение в ней производится по правилу (bi + Т) -f- (b2 -f Т) — = (bi + b2) + Т. Поскольку Т — подмодуль, абелева группа В/Т становится ^-модулем, если умножение любого элемента г ? R на смежный класс b + Т определить равенством г (b + Т) =
— rb + Т.
Мы назовем BIT фактормодулем модуля В. Отображение т), ставящее в соответствие каждому элементу b 6 В его смежный класс b Т, является эпиморфизмом т] : В В/Т, называемым естественным эпиморфизмом, или проекцией В на BIT.
§ 2. Модули
23
Предложение 2.1. Если Р : В В' и Т с Кег р, то существует такой единственный модульный гомоморфизм Р' : BIT -*¦ В\ что Р'т] = Р, т. е. диаграмма
\ \г т=о,
\ В'
может быть дополнена до коммутативной при помощи единственного гомоморфизма Р' (p'ri = Р).
Доказательство. Положим Р' (6 + Т) = р Ь. Поскольку Т cz Кег р, отображение однозначно. В частности, если р : В -*¦ -> В'есть эпиморфизм с ядром Т, то рBIT я* В*.
Этот результат можно выразить и по-другому: каждый гомоморфизм р, для которого выполняется р (Т) = О, единственным образом представим в виде произведения tiP'. Мы будем также говорить, что р однозначно проходит через г|. Это свойство характеризует эпиморфизм г\:В-+В/Т с точностью до изоморфизмов модуля В/Г; именно, имеет место следующее
Предложение 2.2. Если Т cz В и если ? : В -+-D — такой гомоморфизм, что ?, (Т) = 0 и каждый гомоморфизм Р : В -*¦
В' с р (Т) = 0 однозначно проходит через ?, то существует изоморфизм 0 : BIT s* D, причем ? = 0г).
Доказательство. В силу условия нашего предложения й предложения 2.1 существуют разложения ? = т} = т}'?. Следовательно, ? = (CV) ? = 1C- Ввиду единственности разложения отображения ?, ?V = 1. По симметрии г)'?' = 1. Значит, ц' = = (С')-1, и ?' является искомым изоморфизмом 0.
Для каждого подмодуля Т cz В вложение / и проекция т] позволяют построить точную последовательность
о-»тЛвД bitо.
Обратно, пусть
(х, о): 0 А Л В Л С 0
¦— короткая точная последовательность, т. е. точная последовательность пяти -модулей, в которой первый и последний модули нулевые (и, значит, первое и последнее отображения тривиальны). Точность в А означает, что х — мономорфизм, точность в В означает, что кА = Кег а, и точность в С означает, что а — эпиморфизм. Поэтому короткая точная последовательность может быть записана так: А » В -» С, причем имеется точность в В. Мономорфизм х индуцирует изоморфизм х': Л ^ хЛ, а а — изоморфизм а' : В!у,А
