Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Когомологический класс последовательности % (Е) является тогда когомологическим классом гомоморфизма g2 как коцикла из B(Z (П)), т. е. является когомологическим классом системы факторов / расширения Е, что и утверждается в нашей теореме.
Указанное построение можно обратить, а именно В-резольвента дает двукратную точную последовательность, начинающуюся с дВг и кончающуюся на Z. Умножение слева этой последовательности на коцикл / дает последовательность % (Е).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что отображения а и Р, определенные формулами (6.2), действительно являются модульными гомоморфизмами.
2. Закончить доказательство леммы 6.1, показав, в частности, что функция Л, введенная там, удовлетворяет равенству h (х, + b$=h (х (оЬ±),Ь2) +
+ Л (х, bj), н поэтому отображение s : М А корректно определено.
3. Выразить функцию А в терминах системы факторов f.
4. Проверить, что равенства (6.4) задают цепное преобразование.
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
Поскольку Я2 (П,А) a* Ext|<n) (Z,A), мы можем вычислить группы когомологий определенной группы П, используя П-модуль-ную резольвенту модуля Z, соответственно приспособленную к структуре группы П.
Пусть П = Ст (t) — мультипликативная циклическая группа порядка т с образующим t. Групповое кольцо Г = Z (Ст (t)) —
m—1
это кольцо всех многочленов и = 2 aitlот переменного Нецелыми
i=0
коэффициентами оь взятое по модулю отношения tm = 1. Два специальных элемента из Г — это элементы
N^l+t+.-.+r-1, D = t-1. (7.1)
Очевидно, что ND = 0, в то время как для любого элемента и = = 2 Qjf из Г
т— 1 /тп—1 \ т
Nu = 2 2 cti t\ Du= 2 (aj-i — aj)ti, am = a0.
j=0 \ i=0 / j= 1
Если Du = 0, to a0 = cii — . . . = am~i и и = Na0. Если Nu = 0, то 2яг = 0 и u — — D [ao -f- (at -f- ^o) t 4" • • • 4" (flm-i + . . .
• • • +a0) Г-Ц.
11-353
162
Гл. IV. Когомология групп
Это означает, что последовательность П-модулей Г^1Г^Г^-Г, D#u = Du, N*u = Nu,
точна. Пополнение e: Г -»-Z действует на и так: ги — 2аг, слег довательно, из ги — 0 вытекает, что и = Dv для некоторого v. Учитывая все сказанное, устанавливаем, что длинная точная последовательность
0^-Z^-r^r^-r^r<------------------ (7.2)
является свободной резольвентой модуля Z. Эту резольвенту обычно обозначают через W, особенно в алгебраической топологии, где она существенно используется при вычислении когомологических операций (Стинрод [1953]). :
Для любого П-модуля А изоморфизм Нотп (Г, A) qsl А отображает каждый гомоморфизм /: Г -*А в /(1). Следовательно, коцепной комплекс Нотп ($\ А) с обычным знаком б/ = (—1)п+1/д для кограничного дифференциала становится последовательностью
. -D* , N* Л -D* „
А-----> А-----> А----> А-----> • • •,
начинающейся с размерности нуль, где N*a = Na, D*a = Da = = (t — 1) а. Ядром D* является подгруппа [a | ta = а] всех элементов из А, инвариантных относительно действия 16 Ст, а ядром N* является подгруппа всех таких элементов а из А, что а + ta + . . . + ^m_1 cl — 0. Группы когомологий группы Ст — это группы когомологий этого коцепного комплекса. Следовательно, нами получена
Теорема 7.1. Для конечной циклической группы Ст порядка т с образующим t и Ст-модуля А группы когомологий таковы:
Н°(Ст, A) = [a\ta = a],
Н*п (Ст, A) = [a\ta = a]IN*A, п> 0, fPn+1(Cm,A) = [a\Na = 0]/D*A, п> 0.
Заметим, что эти группы для п > 0 повторяются с периодом 2.
Теперь мы рассмотрим свободные группы.
Лемма 7.2. Если F — свободная группа со свободными образующими elt t Е J, то группа Z\ (F, А) изоморфна прямому произведению ПАi копий At os; А группы А, причем этот изоморфизм устанавливается соответствием, отображающим каждый скрещенный гомоморфизм f в семейство {fet} его значений на образующих.
Доказательство. По определению свободная группа F состоит из единицы и слов х = е\1 . . . е\къ от образующих с показа-
1 А
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
163
телями = ± 1. Если мы предположим, что слово редуцировано (т. е. Ej + е_;+1 Ф 0, если ij = ij+i), то это представление единственно. Произведение двух слов получается приписыванием одного слова к другому с последующим сокращением. Далее, скрещенный гомоморфизм / удовлетворяет равенству f (xy) = xf (y) + f (х) и, следовательно, / (1) = 0 и / (x-1) = — x~xf (х). Значит, / полностью определяется своими значениями / (ег) = яг 6 А на свободных образующих ег. Обратно, если даны константы аг в А, мы можем положить f (ег) = аг 6 А и определить / (х) индукцией по длине редуцированного слова х с помощью формул
f (etx) = etf [х) + ah f {ejH) = e^f (x) — elxat.
Можно проверить, что эти формулы верны и тогда, когда слово etx или е~'х не редуцировано, и, следовательно, так определенное отображение / является скрещенным гомоморфизмом. Доказательство закончено.
