Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(Уо, • •» Уи • • •, Уп) — это (п — 1)-мерный симплекс, который
является t'-й гранью симплекса or, а граничная формула (5.13) -~ это обычная формула для границы симплекса как альтернированной суммы его (п — 1)-мерных граней.
Неоднородные образующие можно подобным же образом рассматривать как систему обозначений ребер. Обозначим ребро симплекса, идущее от вершины i к вершине /, через Ztj — ylvyj, так что симплексы а и уа имеют одинаковые обозначения ребер, ZijZjk = Zik- Следовательно, символы ребер xt = zt-i,t определяют все обозначения ребер с помощью умножения. Неоднородный образующий х [*(|. .. | хп 1 просто указывает эти обозначения ребер xt, а символ х = у0 указывает первую вершину, как показано на диаграмме
§ 6. Характеристический класс группового расширения
159
Неоднородная граничная формула (5.3) может быть вычитана из этих обозначений для ребер. Этому схематическому описанию можно придать точный геометрический смысл, если П — фундаментальная группа пространства (Эйленберг — Маклейн [19451).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что Р (Z (II)) — ненормализованная В-резольвента — вместе с подходящим пополнением является свободной П-модульной резольвентой модуля Z.
2. Установить, что Opext (П,Л ,ф) можно описать с помощью систем факторов, которые удовлетворяют условию (4.5), но не удовлетворяют условию нормализованности (4.3). Найти единичный элемент группового расширения, заданного такой ненормализованной системой факторов.
3. Для п — 2 в предложении 5.6 показать непосредственно, что кого-мологичные системы факторов f и g^f определяют конгруэнтные элементы
в, Opext (П,Д,<р).
4. Показать, что Extjj(n) (Z, А) — контравариантный функтор в категории §- замен групп, и доказать естественность изоморфизма 0 из следствия 5.2.
§ 6. Характеристический класс группового расширения
Для п — 2 в следствии 5.2 устанавливается изоморфизм
0 : Ext|(n) (Z, А) ел Н* (П, А). (6.1)
Следовательно, каждое групповое расширение Е группы А с помощью группы П
?:0^лДвЛп^1
вместе с заданными операторами ср должно определять двукратное П-модульное расширение А при помощи тривиального модуля Z. Весьма поучительно непосредственное построение этого модульного расширения
X (?): 0 -н» Л Л М Л Z (П) Лг->0. (6.2)
Для этого возьмем групповое кольцо Z (П) группы П вместе с пополнением е. Возьмем в качестве М фактормодуль М = F/L, где F — свободный П-модуль с образующими [6], Ь ф 0 — произвольный элемент из В, и условимся, что [0] = 0; a L — подмодуль модуля F, порожденный всеми суммами Ibi + bz 1 — (cr6t) [b21 —
— l^i] > где Ьи Ь2?В. Модульные гомоморфизмы а и р из (6.2) могут быть тогда определены формулами аа — [ха] + L, р ([&] L) =
— ab — 1 ? Z (П). Ясно, что Ра = 0 и e|J = 6, поэтому последовательность х (Е) из (6.2) может рассматриваться как комплекс
160
Гл. IV. Когомология групп
П-модулей. Точность этой последовательности вытекает из следующей леммы.
Лемма 6.1. Как комплекс абелевых групп последовательность
(6.2) имеет стягивающую гомотопию.
Доказательство. Стягивающая гомотопия s должна состоять из таких гомоморфизмов s : Z -у- Z (П), s: Z (П) М и s : М А абелевых групп, что ss = lz, Ps + se = lz<m. as + sP = \м и sa = 1Д. Первое условие выполняется, если положить si = 1, а второе выполняется, если положить sx = lu (*)] + + L, где и (х) 6 В — представитель х в В, аи (х) = х, а и (1) = 0. Для всех х и Ь элемент и (х) + Ь — и (х (ab)) лежит в ядре or, так что существуют элементы h (х, Ь) 6 А, для которых
и(х) + Ь — кк (x,b) + и(х(ab)).
Гомоморфизм s: М -*-А -можно определить, положив s (х [Ь] + + L) = h (х, Ь). Доказательство заканчивается проверкой того, что as + sP = 1, sa = 1.
Тем самым данная короткая точная последовательность Е групп определяет точную последовательность % (Е) модулей, т. е. элемент из Exti(n) (Z,A), называемый характеристическим классом последовательности Е. То, что соответствие
%: Opext (П, А, ф) —э- Ext|(n) (Z, А)
является изоморфизмом, будет вытекать из следующей теоремы, относящейся к произведению % и 0 из (6.1):
Теорема 6.2. Произведение
Opext (П, А, ф) Л Ext|(n) (Z, А) Л Я2 (П, А) (6.3)
является изоморфизмом, который сопоставляет каждому расширению Е класс когомологий одной из его систем факторов.
Набросок доказательства. Для применения определения 0 мы должны найти цепное преобразование B-резольвенты, рассматриваемой как свободная резольвента тривиального модуля Z, в последовательность % (Е), также рассматриваемую как резольвента Z. Такое цепное преобразование
----» ВД(П)) Bj(Z(II)) В0 (Z (П)) Z О
1га II II
0-----> А----------> М ----------> Z(П) —> Z —» О
можно указать в терминах представителей и (х) для х из В с обычной системой факторов для ц (х) при помощи модульных гомо-
§ 7. Когомология циклических и свободных групп
161
морфизмов
gi[*] = [«(*)] + ?, g2lx\y] = f{x, у). (6.4)
