Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
g • • • у " 2 / C^ll • • • 1 %П-11 ^)*
гс?П
Сложим равенства (5.8) для всех х — xn+i из П. Последний член суммы не зависит от х\ предпоследний член при фиксированном хп дает
2 /('••» *^71-1» ХпХ) = S / ( ' • . * -^71-1» X) ~ § (. • • » %П— l).
X X
Следовательно, в результате имеем
2 C^li • • •) Хп, X) ~ ~~ bg С^1> ...» Хп) "Ь kf (JCij • ¦ •, Хп). ас?П
При 6/ = О из этого соотношения следует, что элемент kf >= бg является кограницей, откуда вытекает результат.
Следствие 5.4. Если П — конечная группа, a D — полная абелева группа без кручения, любым образом превращенная в П-модуль, то Я” (П, D) = О при п > 0.
Доказательство. Для элемента g указанного выше вида существует такая (п — 1)-мерная коцепь h, что g = kh. Тогда kf = ± kbh. Поскольку в D нет элементов конечного порядка, f = ± bh, т. е. коцикл f является кограницей.
Следствие 5.5. Если П — конечная группа, Р — факторгруппа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел и если Р и Z — тривиальные U-модули, то Я2 (П ,Z) аё Нот (П,Р).
Группа (абелева) Нот (П, Р) всех групповых гомоморфизмов П -+-Р —это группа характеров группы П.
Доказательство. Аддитивная группа R действительных чисел полна и не имеет элементов конечного порядка. Короткая точная последовательность тривиальных П-модулей Z » R -» Р порождает точную последовательность
ячП, R) -» Я*(П, Р) Я2(П, Z) Я2 (П, R).
§ 5. В-резольвента
157
По следствию 5.4 обе крайние группы равны нулю; поскольку Р имеет тривиальную модульную структуру, Я1 (П,Р) = Нот (П,Р). Следовательно, связывающий гомоморфизм будет искомым изоморфизмом.
Для иллюстрации употребления резольвент рассмотрим операцию сопряжения с помощью фиксированного элемента t 6 П. Пусть б( : П ->-П обозначает внутренний автоморфизм Qtx = t^-xt, в то время как для любого П-модуля A, at : А А —автоморфизм, задаваемый равенством ata = ta. Тогда х (ata) = xta — t (t^xta) = = Of [(0**) а], так что пара (0t, af) : (П, A, q>) ->-(П, A, cp) является заменой групп в смысле (2.6). Индуцированное отображение групп когомологий необходимо является изоморфизмом, однако справедливо более сильное утверждение. .
Предложение 5.6. Для любого U-модуля А сопряжение с помощью фиксированного элемента t 6 П индуцирует тождественный изоморфизм
(Qt,at)*:Hn(U, А) Нп(П, А).
Доказательство. Определим модульный гомоморфизм gt- Вп (Z (П)) ->-Вп (Z (П)) формулой
gt(x[xl\...\ *„]) = Xt [t^Xit I ... I t'Xit I ... I t'Xnt].
Можно заметить, что gtd = dgt, т. e. gt — цепное преобразование резольвент, накрывающее тождественное отображение Z Z. По теореме сравнения для резольвент, gt гомотопно тождественному отображению, так что индуцированное отображение групп когомологий тождественно. Но это индуцированное отображение переводит каждую n-мерную коцепь / в gff, где
(gtf) (*1, ¦¦¦,Xn) = fgt[Xi\...\ Хп\ = tf {tlXit, ..., t'-Xnt).
Коцепь, стоящая справа, равна (0г, at)*f по определению (5.9), откуда получаем требуемое заключение. Отметим, что теорема сравнения позволила нам избежать построения явной гомотопии St а 1.
Эта теорема может быть прочитана следующим образом: каждый л-мерный коцикл / когомологичен определенному выше коциклу gtf. Подобно многим результатам в теории когомологий групп этот результат был открыт для п — 2 из свойств расширений групп (упражнение 3 ниже).
В В-резольвенте Б„ (Z (П)) — это свободные абелевы группы, свободными образующими которых являются все символы х [Xi | . . . I Хп], где все х6П и ни один из элементов х±, . . ., хп не равен 1 ? П. Мы назовем эти символы неоднородными образующими комплекса В. Далее, последовательность х, Xi, . . ., хп элементов из П определяет и определяется последовательностью элементов У о = х, г/i = ххи Уг — xxix2, ..., уп = xxi ... Хп, из П, а равен-
158
Гл. IV. Когомология групп
ство xt — 1 превращается в равенство г/г_1 = г/г- Следовательно, образующие из В„ можно переписать с помощью г/г ? П
(Уо, Уи • • •» Уп) = Уо | I • • • I Уп-1Уп], (5.10)
и обратно:
X[Xi\ ... \хп] = (х, XXit XXiXz, ...,XXi ...Хп). (5.11)
Перевод граничной формулы в эти обозначения доказывает
Предложение 5.7. Абелева группа Вп (Z (П)) содержит элементы (у0, . . . ,'уп) из (5.10) для всех yt 6 П. Если yt-t = yt, то (уо, . . ., Уп) = 0. Остальные элементы такого вида являются свободными образующими группы Вп. Здесь U-модульная структура задается формулой
У (Уо, Уи • • •) Уп) — (ууо, УУи • • •. УУп), • (5.12)
а дифференциал д: Вп -+-Вп-1 определяется формулой
П
д (Уо> Уи • • •) Уп) ~ 2 ( 1)* (У01 • • •»Уи • • • > Уп)> (5.13)
{=0
где крышка над yi указывает, на то, что yt нужно опустить.
Заметим, что в этом описании В (Z (П)) умножение из П используется только в определении (5.12) модульной структуры. Ввиду формы этого определения символы (у0, . . Уп) называются однородными образующими Вп. Они имеют геометрическую интерпретацию. Если мы рассмотрим (у0, уи . . ., уп) как n-мерный симплекс а, i-ю вершину которого описывает элемент г/* 6 П, то
