Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Как только некоторое понятие изучено, мы останавливаемся для того, чтобы описать его применения. Так, гл. IV о когомологии групп содержит топологическую интерпретацию групп когомологий группы П как когомологию асферичного пространства с фундаментальной группой П, а также теорему Шура о расщепляемости каждого расширения одной конечной группы с помощью другой, если порядки этих групп взаимно просты. В гл. VII о размерности изучаются сизигии и сепарабельные алгебры. Глава X о когомологии алгебраических систем содержит основную теорему Веддербар-на для алгебр и когомологию (на разных уровнях) абелевых групп.
Глава XI содержит стандартное построение спектральной последовательности фильтрации и бикомплекса, использованное для построения спектральной последовательности покрытия и группового расширения (эта последняя идет от Линдона, а не от последующей работы Хохшильда и Серра, как часто думают). Большая часть изложения гомологической алгебры в других главах может быть понята независимо от этих результатов.
Для специалиста мы отметим несколько особенностей. Основные функторы Ext и Тог описаны непосредственно: Ext, следуя Ионеда,— при помощи длинных точных последовательностей, Тог — с помо-
Введение
17
щью улучшенного множества образующих и соотношений. Резольвентам отведено их истинное место, место средств вычисления. Все многообразие алгебр (коалгебры, алгебры Хопфа, градуированные алгебры, дифференциальные градуированные алгебры) описано единообразно коммутативными диаграммами- для отображений умножения. Относительная гомологическая алгебра рассматривается на двух уровнях общности: сначала при помощи «пренебрегающего» функтора, к примеру такого, который считает ^-модуль абелевой группой, позднее при помощи подходящего собственного класса коротких точных последовательностей в абелевой категории. Когомология групп определяется функторно через В-конструк-цию. Эта конструкция позднее фигурирует в абстрактной форме: для пары категорий с пренебрегающим функтором и функтором, строящим относительные проективные объекты (гл. IX, § 7). Указано собственное определение связывающего гомоморфизма через аддитивные отношения (соответствия); эти отношения использованы для описания трансгрессии в спектральной последовательности. Это дает удобную форму для рассмотрения трансгрессии в спектральной последовательности Линдона. Диаграммный поиск работает в абелевой категории с подобъектами и факторобъектами вместо элементов (XI 1.3).
Обозначения обычные, со следующими несколькими исключениями. Комплекс обозначается буквой К (латинская), коммутативное кольцо — буквой К (греческая). «Градуированный» модуль М есть семейство М0, М,, . . . модулей, а не их прямая сумма 2 Мп, в то время как о семействе . . ., M_lt М0, Ми . . говорится, что оно Z-градуировано. Мономорфизм обозначается как х : А >-> В, эпиморфизм как о : В-» С, а символ х || а означает, что последовательность точна. Пунктирная стрелка,
А В, обозначает гомоморфизм, который нужно построить,
штриховая стрелка, А----------*- В — это групповой гомоморфизм
между модулями, неполная стрелка А -*¦ В — аддитивное отношение. Мы различаем бикомплекс (XI.6) и комплекс комплексов (Х.9); мы «пополняем», но не едополняем» алгебру. Двойственной к резольвенте является «корезольвента». Если и — цикл из гомологического класса h 6 Нп (X), то обозначение и 6 € Нп есть сокращение записи и 6 h 6 Нп, в то время как h записывается кай h = els и. Кограница n-мерной коцепи f равна 6/ = (—l)n+1 fd со знаком (II.3).
Ссылка на теорему V.4.3 означает ссылку на теорему 3 § 4, гл. V; если номер главы опущен, то имеется в виду теорема из той же главы. Ссылка типа Бурбаки [1999] означает ссылку на работу упомянутого автора, указанную в библиографии в конце книги и опубликованную в отмеченном году; [1999b ]— это ссылка на вторую работу того же автора, опубликованную в том же году. Оказавший большое
2-353
18
Введение
влияние трактат А. Картана и С. Эйленберга «Гомологическая алгебра» выделен тем, что упоминается без указания даты. Библиография не претендует на полноту; ее задача — быть путеводителем для дальнейшего чтения, подсказанного в замечаниях, сделанных в конце некоторых глав и параграфов. Эти замечания содержат также несистематические исторические комментарии, которые дают определенный — и, вероятно, субъективный — взгляд на ход развития гомологической алгебры. Упражнения предназначены как для того, - чтобы дать элементарную практику в пользовании введенными понятиями, так и для того, чтобы сформулировать дополнительные сведения, не включенные в текст.
ГЛАВА I
Модули, диаграммы и функторы
В теории гомологий постоянно приходится иметь дело с формальными свойствами функций (отображений) и их произведений. Рассматриваемые в этой теории функции обычно являются гомоморфизмами модулей или связанных с ними алгебраических систем. Формальные свойства, испвльзуемые постоянно при изучении гомологий, могут быть описаны утверждением, что гомоморфизмы образуют категорию. Эта глава посвящена понятиям модуля и категории.
