Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть Ext? {С,А) для фиксированных ^-модулей Л и С обозначает множество всех классов конгруэнтности а = clsS п-кратных точных последовательностей, начинающихся с Л и кончающихся С. Будем писать S 6 ? Ext'1 (С,Л), если S 6 <r ? Ext” (С,А). Если Т 6 т ? Extm (D, С'), то произведение S ° Т определено при С = С'; класс, в котором лежит S о Т, определяется а и т и является элементом из Extn+m (D, Л), который мы обозначим ах (не используя знака о для умножения). «Встречное» условие, необходимое для определения от, можно сформулировать, если считать а ? Exta (С, Л) «морфизмом» последнего модуля С в начальный модуль Л; тогда от определено, если область определения морфизма т совпадает с областью значений морфизма а. Это условие включает «встречное» условие для умножения гомоморфизма а : Л Л' на расширение а 6 Ext” (С, Л). Оно также включает в себя условие для перемножения обычных гомоморфизмов, если интерпретировать Ext0 (С,Л) как Нот (С, Л), что мы и будем делать.
Для каждого п, Ext# (С,Л) есть бифунктор, контравариантный по С и ковариантный по Л. Бифунктор ExtS (С, Л) является также абелевой группой относительно сложения, введенного при помощи сложения Бэра. Действительно., две л-кратные точные последовательности S ? а 6 Exf* (С, Л) и S' ? а" ? Extn (С', Л') имеют прямую сумму S @ S' ? ? Exf* (С ©С', Л @ Л'), которая находится, путем взятия прямой суммы соответствующих модулей и отображений в S и S'. Класс конгруэнтности последовательности S @ S' зависит только от классов а и а', и поэтому его можно обозначить а © а'; для доказательства заметим, что конгруэнция (Е" Р) о ?'== = Е" о (Р?') из (5.2) распространяется следующим образом до конгруэнции прямых сумм:
(?"р © F") о (Е1 © F’) = (?" © F") (р © 1) о (?' © F') =
= (?"©F") о(р©1)(?'©F') = {Е"©F") о (PF®F').
Наконец, сложение Бэра определяется для аи <т2 6 Extn(C, Л), i=l,2, уже известной формулой
ог1 + ог2=^а(°г1©сг2) Ас- (5.4)
§ 5. Умножение расширений
117
Теорема 5.3. Пусть Ext# — собрание всех классов конгруэнтности о, х, .. . кратных точных последовательностей R-модулей. Каждый классе имеет степень п (п = 0, 1,2, . . .); R-модуль С как областью определения и R-модуль А как областью значений-, в этом случае мы пишем а ? Ext" (С, А) и Ext0 (С, А) = Нош (С, А). Произведение стт определено, если range т= domain a, degree (от)=
= deg а + deg т, range ат = range a, domain от = domain т. Сумма aj + а2 определена для сть <т2 из одного и того же множества Ext" (С, А) и превращает Extn (С, А) в абелеву группу. Дистрибутивные законы
*
(<Ti + <т2) т = atx + <т2т, a (т4 + т2) = art + ат2 (5.5)
и ассоциативный закон р (ат) = (ра) т справедливы всякий раз, как определены встречающиеся сложение и умножение.
Короче, ExtH подобно кольцу, за исключением того, что сумма а + т и произведение ат не всегда определены.
Эта теорема, очевидно, включает в себя доказанную ранее теорему 2.1 для Ext1 = Ext, и ее доказательство подобно «умозрительному» доказательству теоремы 2.1. Такое доказательство опирается на некоторые правила для «прямых сумм». В нашем случае эти правила (и их аналоги из теоремы 2.1) выглядят так
(о © а') (т 0 т') = ат 0 а'т', (2.8) и (2.9), (5.6)
aV = V(сг©а), (2.10), (2.11) (5.7)
Дт = (т©т) А, (2.10'), (2.1 Г) (5.8)
<*>(<*©<*') = (а'©а) ю, (5.9)
где а) — естественный изоморфизм а):Л©Л'->-Л'©Л. Остается только доказать эти правила.
Сначала рассмотрим (5.6). Если и а, и т имеют степень нуль, то они являются обычными гомоморфизмами и (5.6) превращается в обычное (функторное) правило для подсчета прямой суммы гомоморфизмов. Если и а, и т имеют положительную степень, то (5.6) становится очевидным правилом для произведения прямых сумм точных последовательностей. Если a — степени нуль, а т — положительной 'степени, то а и а' в действительности действуют только на крайние левые множители т и т'; значит, (5.6) сводится к случаю, когда тит' — короткие точные последовательности, а этот случай рассмотрен в (2.8). Аналогично, когда а положительной, а т нулевой степени, (5.6) сводится к (2.9).
Теперь возьмем (5.7). Когда а имеет степень нуль, (5.7) превращается в (2.10); когда а степени 1 и является короткой точной последовательностью, то (5.7) совпадает со вторым соотношением (2.11).
118
Гл. III. Расширения и резол ьвенты
В случае, когда степень а равна 2, из (2.11) следуют конгруэнции (?* о Еа) V = Ег о (ВД = ?2oV(?i0 Ех) =
= E2V о {Ei 0 Et) = V (E2 0 E2) ° (Ei 0 Ei),
устанавливающие (5.7.). Более длинные случаи разбираются подобным же образом.
Доказательство (5.8) аналогично, а (5.9) вытекает из соотношения со (?t 0 ?2) а* {Ег 0 Ei) со, полученного применением предложения 1.8 к морфизму (со, со, со) : Ei 0 Е2 ->• Е2 © Et.
Нам осталось только указать нуль и противоположный элемент в абелевой группе Ext'1 (С,А). Противоположным к els 5 будет els ((—1А) 5). Нулевым элементом в Ext'1 для п = 0 служит нулевой гомоморфизм, для п = 1 — расширение, являющееся прямой суммой, для п > 1 класс конгруэнтности л-кратной точной последовательности
