Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(ГР)о?'=Го(Р?'), (5.2)
причем это отношение имеет место всякий раз, как определены все встречающиеся произведения, т. е. всякий раз, как последовательность Е " оканчивается некоторым модулем К, Р: С-*- К для некоторого L и последовательность Е" начинается с модуля L. Определим
8-353
114
Гл. III. Расширения и резольвенты
конгруэнтность как наименьшее рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение, включающее (5.2) и ранее введенную конгруэнтность коротких точных последовательностей. Это определение можно выразить следующим образом. Запишем произвольную л-кратную точную последовательность 5 как произведение п точных последовательностей Ей
S~En о En-i о • • • о Ei', (5.3)
последовательности Et единственны с точностью до изоморфизма. Вторая п-кратная последовательность S* с тем же началом и тем же концом конгруэнтна S, если S' можно получить из 5 конечной последовательностью замещений следующих трех типов:
(i) замена любого множителя Et конгруэнтной короткой точной последовательностью;
(ii) если два последовательных множителя имеют вид E"fi ° Е' для некоторых Е", $ и Е\ как в (5.2), то их можно заменить на
?"о р?';
(iii) если два последовательных множителя имеют вид Е" о $Е', то их можно заменить на Е "|3 о Е'.
Например, двукратные последовательности (5.1) и (5. Г) конгруэнтны.
Мы также определим произведение длинной точной последовательности или ее класса конгруэнтности и некоторых гомоморфизмов. Именно, если S — п-кратная точная последовательность, начинающаяся с Л и кончающаяся С, то мы определим произведение aS для всякого гомоморфизма а с областью определения Л и определим произведение Sy для всякого гомоморфизма у с областью значений С с помощью формул (S представлена как в (5.3)):
а (Еп 0 • • • 0 Ei) = (аЕп) ° Еп-4 о • • • о Ец {Еп о • • • oE2oEi)y = Eno ... оЕ2° (Eiy).
Если S и S" — /г-кратные точные последовательности, то морфизм Г : S —S’ — это семейство гомоморфизмов (а, ..., у), образующих коммутативную диаграмму
S : 0 —> Л —> Bn—i —> • • • —> Вд —> С —^ О
1Г |° | | lv •
5': 0-» Л'------------------>В'0-*С-* 0.
Мы будем говорить, что Г начинается с гомоморфизма а и кончается гомоморфизмом у. Композиция аЕ определялась при помощи подобной диаграммы Е а,Е, так что приведенное выше определение aS порождает морфизм S aS, начинающийся с а и кончающийся 1; аналогично возникает морфизм Sy ->¦ S, начинающийся с 1 и кончающийся у. В обобщение предложения 1.8 мы получаем
§ 5. Умножение расширений
115
Предложение 5.1. Каждый морфизм Г п-кратных точных последовательностей S и S', начинающийся с а и кончающийся у, порождает конгруэнцию aS = S'y.
Доказательство. Для симметрии в обозначениях положим Вп = A, B_i = С. Пусть Ki = Im (Bt ВU1) = = Кег (В{_1 -> В,_2), i — п — 1, . . ., 1; тогда 5 разлагается в произведение Еп ° . . . о Еи где Et: Kt>* Bt-i -» Kt-i и /С„ = = А, Ко — С. Последовательность S" можно разложить аналогично. Заданный морфизм Г: 5 S" индуцирует гомоморфизмы рг: Ki К\, которые образуют коммутативную диаграмму
Et: 0 -> Kt -> В^->Кг-1 -> О
J,
Ei'.O—>K'i—> —>K’i— 1—>-0.
В силу предложения 1.8 из этой диаграммы вытекает, что $iEt == = E'fti-1, причем на концах Р„ = ос и р0 = У- Следовательно, по нашему определению конгруэнтности
а5 = (аЕп) ° Еп-1 ... = (?npn-i) ° Еп~ 1 о... =Еп ° (pn_i?n_i) о . . . == = Е’п о (Е'п-iPn-г)0 • • * = - - ¦ = ^р0 = S'y-
Этот результат дает иное определение конгруэнтности, приведенное в следующем предложении.
Предложение 5.2. Конгруэнтность S = S" между двумя п-кратными точными последовательностями, начинающимися с А и кончающимися С, имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого натурального числа k существуют 2k морфизмов п-кратных точных последовательностей,
S — Sq —> Si <— Sj —> • • • <— S2A-2 —> S^k-i <— Sik = s,
причем эти морфизмы направлены навстречу друг другу и все начи-наются с \А и кончаются 1с-
Это предложение устанавливает, что S == S' — такое наименьшее рефлективное, симметричное и транзитивное отношение, что существование морфизма Г: S S' с 1 на концах влечет конгруэнтность S == S'.
Доказательство. Предположим сначала, что S = S'. Для исходной конгруэнции (5.2) определение произведения Е"р порождало морфизм Е "Р Е", в то время как определение рЕ" порождало морфизм Е" ->¦ рЕ' точных последовательностей. Соеди-
8*
116
Гл. 111. Расширения и резольвенты
нение следующих двух диаграмм
i 13 > j \\
Е": А»К К»Во-»С:$Е'
по общему отображению (3 порождает морфизм (?"Р) о Е'
->• Е" о (Р?'). Следовательно, строка конгруэнций вида (5.2) порождает описанную последовательность морфизмов. Обратное утверждение немедленно вытекает из предложения 5.1.
