Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
р
Подстановка этих выражений в (4.7) и дает требуемую точную последовательность (4.5) теоремы 4.3. Гомоморфизм а определяется при этом как произведение
Н0 (Horn (K,L)) Д Я0 (Horn (C,L)) Д П Нот (Ср, Яр (L)) ->
Р
—»• Д Нот (НР(К), Нр (L));
р
здесь последняя стрелка обозначает аддитивное отношение, «обратное» к первому мономорфизму из (4.8). Это произведение а сопоставляет каждому f : К L семейство индуцированных отображений гомологических классов, так что совпадает с уже описанным отображением. Гомоморфизм р является произведением
II Ext (Яр (/С), Яр+1 (L)) _^П Нот (Dp+1, Яр+1(1))^
Р Р
<?я0(Нот(Д L)) Д- Н0 (Нот (К, L)),
т. е. Р = j*a"1 S*-1, где S*-1 — «обратный» к гомоморфизму S* из
(4.8), полученному для последовательности S. Будучи произведением естественных отображений, гомоморфизм Р естествен. Чтобы расщепить (4.5), выберем, как и раньше, такой гомоморфизм ф, что /ф = 1 z>; тогда S*a0tp* — левый обратный для Р = /*ссo'S*-1, естественный по L, но не по К-
В теореме о гомотопической классификации группы Ext аннулируются, если Нп (К)— свободные группы. Поэтому получаем такое
112
Гл. III. Расширения и резольвенты
Следствие 4.5. Если К и L — комплексы абелевых групп, причем группы Кп и Нп (Ю свободны, то два цепных преобразования f, f: К -*¦ L цепно гомотопны тогда и только тогда, когда /* =
— Г* '• Нп (К) -*¦ Нп (Ц для любой размерности п.
Доказательство основывается на замечании, что f ~ f означает то же, что и els / = els f в Я0 (Нот (К, L)). С другой стороны, если некоторая группа Ext (Яр (К), Яр+1 (L)) Ф 0, условие /* = для всех п недостаточно для цепной гомотопии / и
Полезным приложением теоремы об универсальных коэффициент тах является
Следствие 4.6. Если f : К -*¦ К' — цепное преобразование комплексов К и К’ свободных абелевых групп, причем : Нп (К) = ~ Нп (/С') для всех п, то для любой группы коэффициентов G отображение /*: /Г (К', G) Нп (К,, G) является изоморфизмом.
Доказательство. Поскольку отображения аир естественны, диаграмма
О -* Ext {Hn-i Ю, G) -* На (К\ G) Нот (Я» (К'), О) —> О
If if*
О -> Ext (Hn-i (К), G) -> Hn (К, G) _> Нот (Нп (К), G) -> О
коммутативна. Поскольку отображения fn : Нп (К) Нп (К') — изоморфизмы, крайние вертикальные отображения Ext (fn-u 1g) и Нот (fn, 1G) также являются изоморфизмами. В силу короткой леммы о пяти гомоморфизмах среднее отображение есть изоморфизм, что и требовалось доказать.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Дать прямое доказательство следствия 4.2,
2. Показать, что теоремы 4.1 и 4.3 остаются справедливыми для комплексов Я-модулей, если требование о свободе Кп заменить предположением о том, что С,j (К) и Кп/Сп (К) являются проективными модулями для каждого п.
3. Если К и L — комплексы абелевых групп, причем группы Кп сво* бодны, то для любого семейства гомоморфизмов уп : Нп (К) -*¦ Нп (L) по одному для каждого п, существует цепное преобразование f: К -*¦ L, для которого Yn = Нп (/).
§ 5. Умножение расширений
Вернемся теперь к изучению расширений модулей. Две короткие точные последовательности
§ 5. Умножение расширений
113
первая из которых оканчивается модулем К, с которого начинается вторая, можно соединить вместе с помощью отображения К -*¦
В0 и получить длинную точную последовательность
Е °Е' :0—> А—> Bi^> В0—>С —>0, (5.1)
называемую произведением Ионеды последовательностей Е и Е'. Обратно, любая точная последовательность А » Bi-*- В0~» С обладает таким разложением, в котором К = Кег (В0 Q — = Im (Вj ->• В0).
Длинные точные последовательности перемножаются аналогично. Рассмотрим /i-кратную точную последовательность
Si О—>А—> Вп~ 1—> Вп-2—^ ’*¦ —^ Во—^ С—О,
начинающуюся с модуля А и кончающуюся модулем С. Если Т — любая /n-кратная последовательность, начинающаяся с модуля С, которым оканчивается S, соединение в С дает произведение Ионеды S о Т, которое является (п + /л)-кратной точной последовательностью, имеющей начало, общее с S, и конец, общий с Т. Это умножение последовательностей, очевидно, ассоциативно, но оно может не быть связанным ассоциативным законом с умножением на гомоморфизмы. Например, пусть Е и Е" — последовательности из (5.1), М — произвольный модуль и я : К ® М К есть проекция прямой суммы. Из коммутативных диаграмм
Ei:A>^Bi®M-^K®M Е[-.К®М>*В0®М-»С
II I Iя I* i л
E:A»Bi -» К, Е': К >* В0 -»С
и определения умножений на гомоморфизмы видно, что Et = Ел и ?' s= лЕ[\ однако произведение верхних строк
Е1оЕ'1:О^А->В1@М^>Во®М->С-^0 (5.1)
не совпадает с (5.1), другими словами, (?я) о ?' ф E о (я?'), и ассоциативный закон не выполнен.
Для коротких точных последовательностей мы уже определили конгруэнтность как изоморфизм с тождественными отображениями на концах. Для длинных последовательностей нам необходимо более широкое отношение конгруэнтности =, обладающее свойством
