Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 35

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 227 >> Следующая

Теорема 9.1. Если (X, Л) — пара пространств, то длинная последовательность
...-*Нп{А)Х Нп (X) Д- Нп (X, А) % #„_! (Л) —> • • •, (9.3)
оканчивающаяся членами ->• Н0 (X) ->• Я0 (X, Л) ->• 0, точна.
В этой последовательности i: (А, 0) (X, 0) и / : (X, 0)-*¦
(X, Л) суть отображения пар, индуцированные тождественным отображением, а 3* задается для каждого относительного цикла с равенством 3* (els с) = els (дс). Мы уже отмечали [пример (1.3)], что отображение t* : Нп (Л) Нп (X) может не быть мономорфизмом; указанная выше точная последовательность описывает ядро и образ t*.
Два отображения /о, fi '¦ (X, А) (Y, В) пар пространств гомотопны, если существует гомотопия F: f0 ~ ^ : X Y, при которой F {Ах I) а В; это последнее условие означает, что F как отображение из А х I является гомотопией между /0 и fa как отображениями Л в Б. Распространением доказательства теоремы 8.2 можно показать, что для гомотопных отображений /о, fi пар Нп (/о) =
- Нп (fa) : Нп (X, Л) - Нп (Y, В).
Теория групп сингулярных гомологий пар пространств дает таким образом:
1. Функторы Нп (X, Л) из категории пар пространств в категорию абелевых групп, п — 0, 1, ... .
2. Естественные гомоморфизмы 3* : Нп (X, Л) Hn~i (Л), л= 1, 2, ... .
Эти объекты удовлетворяют следующим дополнительным условиям:
3. Если X состоит из одной точки, то Н0 (X) a* Z, а Нп (X) = О при п > 0.
4. Для любой пары (X, Л) относительная гомологическая последовательность (9.3) точна.
5. Гомотопные отображения пар пространств индуцируют равные гомоморфизмы для каждой группы Нп.
88
Гл. II. Гомология комплексов
6. (Вырезание.) Если X zd A zd М — такие пространства, что замыкание М содержится во внутренней области А, то обозначим через X — М гэ А — М пространства, полученные из X и из Л соответственно выбрасыванием всех точек пространства М. Тогда вложение k: X — М ->• X индуцирует изоморфизм групп относительных гомологий
Нп (k): Нп (X — М, А — М) о* Нп (X, А). (9.4)
В наших рассмотрениях были установлены все эти свойства, кроме шестого. Доказательство этого свойства использует «барицентрические подразделения», оно может быть найдено у Стинро-да — Эйленберга [1952], Уоллеса [1957] или Хилтона — Уайли [1960].
Эти шесть свойств могут быть взяты в качестве аксиом для теории гомологий. Можно доказать, что в том случае, когда пара (X, Л) триангулируется конечным числом аффинных симплексов, любые группы относительных гомологий, удовлетворяющие аксиомам, должны совпадать с группами сингулярных гомологий. Более того, можно вычислить только из аксиом сингулярные гомологические группы элементарных пространств, совпадающие с вычисленными в § 1 при помощи «наивного» подразбиения группами. В частности, если Sn есть n-мерная сфера, то устанавливается, что Нп (S") = Z, Н0 (Sn) ^ Z и Hi (S'1) = 0 при 0 ф i ф п. Эти и другие поразительные геометрические свойства (теорема Брауэра о фиксированной точке и т. д.) изложены в книге Эйленберга и Стин-рода [1952], гл. XI.
Мы же теперь заканчиваем наше слишком короткое описание использования теории гомологий в топологии.
Замечания. Слово «комплекс» первоначально означало симпли-циальный комплекс; в топологии слово «комплекс» имеет различные геометрические значения, такие, как цепной комплекс или «CW-комплекс». Цепные комплексы в нашем чисто алгебраическом смысле были введены Майером [1929, 1938]. Формулирование точных гомологических последовательностей, сделанное Келли и Питчером [1947], позволило провести систематическое исследование простых фактов, которые раньше каждый раз получались «вручную». Пуанкаре ввел гомологии через числа Бетти; Эмми Нётер подчеркнула, что гомологии пространства связаны с группами гомологий, а не только с числами Бетти и коэффициентами кручения. Сингулярные гомологии в их нынешней форме введены Эйленбергом; аксиомы теории гомологий с приложениями к другим гомологическим теориям (теория Чеха) появились в оказавшей большое влияние книге Эйленберга и Стиирода. Аддитивные отношения были отмечены в явном виде только недавно (Любкин [1960], Маклейн [1961], Пуппе [1962]). Соответствующее понятие для мультипликативных групп встречается у Веддербарна [1941], Цассенхауза [1958], а для общих алгебраических систем у Лоренцена [1954] и Ламбе-ка [1958].
ГЛАВА J J J
Расширения и резольвенты
Длинная точная последовательность ^-модулей
О —> А —> Bji-i —>
—> Во —> С —> О,
идущая от Л к С через п промежуточных модулей, называется «я-кратным расширением» модуля Л при помощи модуля С. Эти расширения, классифицированные соответствующим образом при помощи отношения конгруэнтности, являются элементами группы Ext" (С, Л). Для вычисления этой группы мы представим С как фактормодуль С = F0/S0 свободного модуля F0; этот процесс можно итерировать S0~ FjSi, Si = Fz/Sz, ¦ ¦ в результате возникает точная последовательность
называемая «свободной резольвентой» модуля С. Когомология комплекса Нот (Fn, Л) состоит из групп Ext" (С, Л). С другой стороны, можно вложить модуль Л в инъективный модуль J0 (§ 7), затем фактормодуль J0/A в инъективный модуль Jt\ итерирование этого процесса дает точную последовательность
Предыдущая << 1 .. 29 30 31 32 33 34 < 35 > 36 37 38 39 40 41 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed