Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 34

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 227 >> Следующая

d (и0Т) действительно равняется S (t) Т — 5 (6) Т. Более того, «о> очевидно, естественно.
§ 8. Гомотопия
85
При п > 0 предположим, что отображения ит определены уже для всех т<п, в частности S (t) — 5 (b) = дип-1 + Un-2d; если п = 1, то tin-2 в этом равенстве есть нуль. Пусть Jn: Дп ->• Д" — тождественное отображение стандартного симплекса. Сначала мы определим uJn ? 5„+i (Дпх /); граница этого элемента должна быть равной
duJn = IS(t)Jn — S (b) Jn — un-1 dJn. (8.5)
Выражение с, стоящее справа в этом равенстве, является цепью из Sn (Д"х/); его граница
дс = dS (t) Jn —S (b) dJn — дип-i dJn = (S (t) — S(b) — dun-1) dJn
равна нулю по индуктивному предположению. Значит, с является /i-мерным циклом из Д"х /. Но Д" х / — это выпуклое множество евклидова пространства, и, следовательно, оно ациклично в силу предложения 8.1. Поэтому с — граница, т. е. с = За для некоторого а 6 <Sn+i (Дпх/). Мы полагаем uJn = а\ тогда равенство (8.5) имеет место.
Если теперь Т: Ап ->¦ X есть сингулярный симплекс некоторого пространства X, Т = TJn — 5(Т) Jn и Тх1 : Д"х/-»-Хх/, то положим иТ = S (Тх 1) и Jn — S (Тх 1) а. При таком определении и немедленно выполняется требование естественности. Чтобы установить, что в результате получается нужная гомотопия, подсчитаем
duT = S(Tx l)da = S(Tx l)[S (t) Jn-S (b) Jn-un-idJn],
где t и b — верхнее и нижнее основания цилиндра Д"х/. Но t, b и Un-1 естественны, следовательно, ввиду (8.5) диТ = 5 (t) Т —
— S (b) Т — Un-idT, что и требовалось.
Этот тип доказательства состоит в том, что искомый объект (в данном случае — искомая цепная гомотопия) сперва строится для цепи, взятой в качестве модели, например для Jn, причем принимается во внимание, что пространство Дпх1, в котором эта модель лежит, ациклично, а затем этот объект распространяется на другие пространства при помощи отображений Т. Это старый метод доказательства в топологии; он встретится позднее вновь (гл. VIII) как метод ацикличных моделей. Здесь же его достоинство состоит в том, что он позволяет избежать установления явной формулы для гомотопии ы.
Следствие 8.4. Если непрерывные отображения /0, fi : X ->¦
Y гомотопны, то индуцированные гомоморфизмы Н (/0), Я (П) : Я„ (X) Нп (Y) равны.
86
Гл. II. Гомология комплексов
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что любое стягиваемое пространство ациклично.
2. Пусть в призме ДИХ / числа 0, 1, . . ., п обозначают вершины нижнего основания, a O', 1...п' — вершины верхнего основания. Показать,
что точное выражение для гомотопии и при X ~ Лп в лемме 8.3 дается формулой
п
«•Лг=2 (—1)40, 1, ¦¦¦, I, г', (< + 1)\ ¦¦¦, п') Апх1, i=0
в которой использованы обозначения, введенные для аффинных сингулярных симплексов.
3. Показать, что при п= 1, 2 в упражнении 2 члены uJn соответствуют «триангуляции» призмы Дпх/ (сделать чертеж!).
4. Показать, что Дпх1 можно «триангулировать» следующим образом. Частично упорядочим вершины Дпх{0} и Дих{1} по правилу: (г, е) <; < (/, г)), где е, Г) = 0, 1, если ( < / и е < г). Возьмем в качестве симплексов триангуляции все те симплексы, которые образованы линейно упорядоченными подмножествами всего множества вершин. Показать, что полученные n-мерные симплексы — это в точности те симплексы, которые фигурируют в uJn в упражнении 2.
§ 9. Аксиомы для гомологии
Пусть А — подпространство пространства X. Отождествим каждый сингулярный симплекс Т: А" ->¦ А пространства А с отображением А" ->¦ А X; тогда Т становится симплексом из X, а сингулярный комплекс S (Л) — подкомплексом в «S (X). Группы гомологий факторкомплекса
Нп (X, А) = Нп (S (X)/S (Л)) (9.1)
называются группами относительных гомологий пары пространств (X, Л). Они являются подфакторами факторгруппы 5 (X)/S (Л), следовательно, они могут быть переписаны как подфакторы
Нп (X, Л) = СпХХ, А)/Вп (X, Л) (9.2)
комплекса 5 (X). Группа Сп (X, Л) состоит из таких элементов
с 6 Sn (X), для которых дс 6 (Л), в то время как Вп (X, Л) =
= Sn (Л) (J d<S„+i (X). Элементы с из Сп (X, Л) называются относительными циклами; элементы из Вп (X, Л) называются относительными границами. Само пространство X можно рассматривать как пару пространств (X, 0), где 0 — пустое множество; тогда Нп (X, 0) = Нп (X).
Отображением /: (X, Л) (Y, В) Одной пары пространств в другую по определению считается такое непрерывное отображение /: X Y, что f (Л) cz В. Относительно этих отображений как
§ 9. Аксиомы для гомологий
87
морфизмов пары пространств образуют категорию, а Нп (X, А) является ковариантным функтором из этой категории в категорию абелевых групп.
Каждая пара (X, Л) порождает короткую точную последовательность комплексов S (Л) >* S (X) -» 5 (X)JS (Л). Связывающий гомоморфизм д* этой последовательности называется инвариантным граничным оператором (дифференциалом, инвариантной границей) пары (X, Л); из точной гомологической последовательности теоремы 4.1 получаем теорему:
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed