Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 30

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 227 >> Следующая

Доказательство. Если а ? Def г, то из того, что (а, Ь) ? г и (а, Ь') 6 г следует, что (0, Ь — Ь') 6 г, значит, Ь — Ь' 6 Ind г. Тогда отображение г° (а) = Ь + Ind г определяет гомоморфизм
76
Гл. 11. Гомология комплексов
требуемого вида (6.2). Обратно, если дан гомоморфизм р, то г есть множество всех пар (s, Ь), где Ь ? р (s).
Аналогичное рассуждение показывает, что каждое аддитивное отношение г индуцирует изоморфизм 6Г: (Def г)/(Кег г) а*
(1ш r)/(Ind г); обратно, каждый изоморфизм подфактора модуля А и подфактора модуля В возникает этим путем из единственного аддитивного отношения г.
Пусть даны подфактор SIK модуля А и подфактор S’ /К* модуля А". Каждый гомоморфизм а : А -*• А" индуцирует аддитивное отношение
a# = a(S/K, S'/К'): S/K-^S'/K', (6.3)
определенное как множество всех пар (s + К, s" + К.*) смежных классов, где s ? S, s’ ? S" и s' = as. Сюда включается введенное раньше понятие индуцированного гомоморфизма.
Для эквивалентности можно определить обратное отношение для индуцированного отношения.
Предложение 6.2. (Принцип эквивалентности.) Если 0: А -*¦ А’ — эквивалентность, то
(в#)-1 = (9-1)#: S’/К’ S/K.
Действительно, каждое из отношений (0#)"1 и (0-1)# состоит из одних и тех же пар.
В гл. XI мы используем произведение двух индуцированных отношений. Оно не всегда является отношением, индуцированным произведением гомоморфизмов. Пусть, например, Bt — подмодуль прямой суммы А = В @ В, состоящий из всех пар (Ь, 0), В2 — подмодуль всех пар (0, Ь) и А — подмодуль всех пар (Ь, Ь) («диагональный» подмодуль). Тогда 1А индуцирует изоморфизм ^Л/В2^Д, однако отношение Bt А, индуцированное 1А, состоит только из (0, 0). Произведение отношений согласовано с произведением гомоморфизмов лишь при дополнительных предположениях, указанных, например, в следующем предложении:
Предложение 6.3 (Принцип композиции.) Если гомоморфизмы а: А А" и р: А*А" индуцируют аддитивные отношения a# :S/KS'/К’ и р# : S7/C' Se/Km, то
P#a# = (Pa)#:m — SIK"
при условиях (i) аК "=> К' или рК” а К” и (ii) aS cz S’ или p-iS'c: S\
Доказательство. Предположим сначала, что (s +К, s" + К")? Р#а#. По определению умножения двух отношений существуют такие элементы sj и s's в S\ что s^ + К" — st + К" и as = = s', pSg = s". Значит, sj — s'3 = k" 6 К* и Pas = s" + p&\ В слу-
§ 7. Сингулярная гомология
77
чае, когда p/C'cz К" или /('<= а К, имеем (s + К, s” + К") € (Ра)#, так что из условия (i) следует включение cz (Ра)#. Аналогично условие (и) обеспечивает обратное включение.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что гг~хг = г для каждого аддитивного отношения г: А В.
2. Доказать, что (rs)—1 = s_1r_1 для аддитивных отношений г и s.
3. Пусть и: А -*¦ А есть такое аддитивное отношение, что и-1 — и — и2. Доказать, что существуют подмодули К С. S а А, для которых и = = I(S, s + k) | s € S, k € /С]. Установить обратное утверждение.
4. Описать /г-1 и г~хг для аддитивного отношения г : А -*¦ В.
5. В условиях сильной леммы о четырех гомоморфизмах (лемма 1.3.2) доказать, что |а-1 = P-1rj.
§ 7. Сингулярная гомология
Полезность комплексов можно проиллюстрировать, кратко описав группы сингулярных гомологий топологического пространства. Для этого введем аффинные симплексы.
Пусть Е — n-мерное евклидово пространство, т. е. л-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, в котором задано симметричное, билинейное и положительно определенное скалярное (внутреннее) произведение (и, v) для каждой пары векторов и, v 6 Е. Обычное расстояние р {и, v) = (и — v, и — у)1/* превращает Е в метрическое пространство и, следовательно, в топологическое пространство. В частности, Е может быть пространством Еп всех упорядоченных наборов ы = (а,, . . ., а„) из п действительных чисел ait в котором сложение определено покомпонентно, а скалярное произведение задано стандартно,
(flj, . • •, On) (^i> • • •» Ьп) — 2 &ibi.
Прямолинейный отрезок, соединяющий две точки и, v 6 Е,— это множество всех точек tu + (1 — t) v, где t действительно и 0<?<1, т. е. множество всех точек х0и + где х0, xt — действительные числа, х0 + xt — 1, хо>0, xt >0. Подмножество С из ? выпукло, если оно содержит отрезок, соединяющий любые две точки из С. Если и0,- ¦ ., ит есть т + 1 точка из Е, то множество всех точек
U = ЛГоЫо + + • • • + XmUjn, Хо + ,..-\-Хт—- 1, ATj^O, (7.1)
является выпуклым множеством, содержащим и0, . . ., ит, причем наименьшим выпуклым множеством, содержащим эти точки; оно называется выпуклой оболочкой точек и0, ... ., ит.
78
Гл. II. Гомология комплексов
Говорят, что точки ы0, ит аффинно независимы, если каж-
дая точка их выпуклой оболочки имеет единственное представление в виде (7.1); действительные числа х% называются барицентрическими координатами точки и относительно и0. • • •. um. Можно
показать, что точки .......ит аффинно независимы тогда и только
тогда, когда векторы и, — «о, . . ., ит — и0 линейно независимы.
Предыдущая << 1 .. 24 25 26 27 28 29 < 30 > 31 32 33 34 35 36 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed