Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
----->Нп (К, G')Л Нп (К, G)Л Нп (К, G")X Нп+1 (К, G')—> • • • .
(4.11)
Доказательство. Поскольку каждый модуль К.п проективен, последовательность
S*: 0—> Нот (К, в') Нот (К, G) -> Нот (К, G") 0
точна и дает гомоморфизм 6S, равный ds*, причем индексы поднимаются, а точность последовательности (4.11) становится следствием теоремы 4.1.
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
71
Укажем явное правило для построения 6S. Пусть /: Кп -*-G" — коцикл. Поскольку последовательность 5* точна, f — rg для некоторой коцепи g: Кп -*-G; поскольку f— коцикл, gd — %h, где h: Kn+i. ~*~G' — коцикл. Тогда
Снова получается обращающее правило: 6S = els К хбт 1 els х.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть преобразования f, g : К К' цепно гомотопны. Показать, что ассоциированные точные последовательности для конусов отображения М (f) и М (g) изоморфны.
2. (Оператор Бокштейна.) Пусть К — комплекс свободных абелевых
групп, 2р — аддитивная группа целых чисел, приведенная по модулю простого числа р, и S = (k, т) : Z >-» Z -» Zp является короткой точной последовательностью, где Я есть умножение на р. Построить соответствующую точную последовательность (4.11) и показать, что при этом гомоморфизм Р = t*6s : Нп (К, Zp) (К, Zp) можно описать так: представим каждый
я-мерный коцикл с: Кп -*¦ Zp как образ /г-мерной коцепи a : Кп -*¦ Z, тогда 6a = pb для некоторого b: Kn+i -*¦ Z и Р (els с) — els (тЬ). Этот гомоморфизм Р известен как когомологический оператор Бокштейна (ср. Браудер
3. Пусть преобразование jF: К -*¦ К' имеет конус отображения М, ядро L и коядро N, так что точны короткие последовательности комплексов F : L >-» К -» fK и G : fK >-» К' -» N. Построить цепные преобразования g : L+ -*¦ М и h : М -+¦ N, положив g (/) = (/,0), h (k,kr) = k’ + fK, и показать, что последовательность
точна, где т) = дрдд есть произведение связывающих гомоморфизмов для F и G.
4. Показать, что точные последовательности предыдущего упражнения, предложения 4.3 и гомологические последовательности для F и G встречаются в «сплетенной» диаграмме
6scls/ = clsA, %h=gd, тg = f.
(4.12)
[1961]).
(L) Д Нп (М) -$• Нп (N) Л Нп_2 (L)
—*Нп+1{К’)------->H.+l(N)-
/ \ / \ /
н„+1 {)К) Нп+х{М) HJfK)
\
\ / \ И \
которая коммутативна с точностью до знака (—1) в среднем квадрате (Маклейн [1960b]).
72
Гл. II. Гомология комплексов
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
Как приложение точной гомологической последовательности может быть получена
Лемма 5.1. (3x3 лемма.) Предположим, что в следующей коммутативной диаграмме
0 0 0
1
0 ---> Аз а* а2 ai А± ->0
Н 1 V 1
0 Вз Р2 В2 Pi Bi ->0
--->
1 I
0 -*С3 Y2 с2 VI с,
1 1
0 0 0
все три столбца и две верхние строки (или две нижние строки) точны. Тогда и третья строка точна.
Доказательство. Любая последовательность А3 А 2
Ai с такими отображениями а2, аь что а4а2 = 0, может рассматриваться как цепной комплекс А с граничными гомоморфизмами а2, ai и ненулевыми цепями только в размерностях 1, 2, 3. Группы гомологий этого комплекса исчезают (в размерностях 1, 2 и 3) тогда и только тогда, когда указанная последовательность является короткой точной последовательностью.
Предположим теперь, что последние две строки точны. Тогда для любого а 6 А3, vc^a^ = = 0; поскольку v — мономор-
физм, aia2a = 0. Значит, первая строка действительно является комплексом. Поскольку столбцы точны, мы можем рассматривать всю ЗхЗ диаграмму как короткую точную последовательность 0 -*-А -*-В -*-С ->-0 трех комплексов. Соответствующая гомологическая последовательность имеет вид
----->Нп+1(С)->Нп(А)->Нп(В)->... .
Но Нп+1 (С) = 0 = Нп (В) ввиду точности строк В и С. Поэтому из точности соответствующей гомологической последовательности следует, что Нп (Л) = 0 для л = 1, 2, 3.
Доказательство аналогично, если точны первые две строки.
Основной результат этой главы — точность гомологической последовательности (4.4) — может быть выведен иным путем из леммы о коротких точных последовательностях модулей.
§ 5. Некоторые леммы о диаграммах
73
Морфизм коротких точных последовательностей описывается коммутативной диаграммой
О->А Лв ->С->О
i“ lY (5-1)
О —> Л' 5' —> С' —> О
с точными строками; ядро и коядро этого морфизма являются короткими последовательностями, не обязательно точными (например, отображение 0 >-» Л = А в А = Л -*» 0 с Р = 1А). Горизонтальные отображения этой диаграммы индуцируют отображения, дающие точные последовательности
О —» Кег а —> Кег р —> Кег у
и
Coker а —» Coker р —> Coker у —> 0.
Они могут быть соединены в длинную точную последовательность. Лемма 5.2. Для любой коммутативной диаграммы
