Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
хотя 2а — граница. Следовательно,
Я (С (/»)) = Zoo (els (р)) © Z2 (els (а)),
где Z2 (els (а)) обозначает циклическую группу порядка 2 с образующим els (а).
Пример 6. Пусть / (л:, у) — действительная функция класса С°° [т. е. / (х, у) имеет непрерывные частные производные всех порядков], определенная на связном открытом множестве D точек (х, у) декартовой плоскости. При фиксированном D множество А всех таких функций является абелевой группой относительно операции сложения значений функций. Обозначим через С прямую сумму ^ ® А © А © Л; тогда элемент из С — это четверка функций (/, g, h, k), которую более удобно обозначить как формальный «дифференциал»
(/, g, h, k) = f+gdx + hdy + kdxdy.
Определим d: С -*• С, положив
d(f, g, h, k^-^dx + ^-dy+^-^dxdy.
d2f дЦ
Равенство d2 = 0 является следствием того, что .
Любой цикл из С есть сумма элементов следующих трех типов: констант / = а; выражений g dx + h dy, где щ = (другими словами, точных дифференциалов), и выражений k dx dy.
§ 1. Дифференциальные группы
57
Если область определения D является, к примеру, внутренностью квадрата, то мы можем записать функцию k как dh/dx для подходящей функции А, в то время как любой точный дифференциал может быть выражен (при помощи подходящего интегрирова- а/
ния) как дифференциал функ- ^______ _______
ции /. Следовательно, при такой h области D единственными гомологическими классами являются классы, определяемые константами, и поэтому Я (С) является аддитивной группой действительных чисел. Это же заключение остается в силе, если D — внутренность круга, но становится неверным, если D есть, например, внутренность круга с выкинутым началом координат.
В этом последнем случае точный дифференциал может не быть дифференциалом некоторой
-ydx-\-xdy
qxl
а0
Pi
pxl
Ро
Рис. 3.
*2+2,2
функции/. Например,
не является таким. -
Пример 7. Круговой цилиндр можно рассматривать как прямое произведение 5хх / окружности S1 и единичного интервала I. Мы разобьем его, как показано на рис. 3, так что окружность S1 на нижнем основании имеет вершины р0, <7о и ДУГИ ао, Ь0, а на верхнем основании вершины и дуги обозначены теми же буквами, но с индексом 1.
Поверхность цилиндра состоит из интервалов pxl и qxl, расположенных над р0 и q0 соответственно, и поверхностей axl и bxl над а0 и Ь0• Введем свободную абелеву группу С (S1 х I) с двенадцатью свободными образующими рх/, qxl, axl, bxl и ait bt, pi, qt (i — 0, 1). Определим дифференциал d: С ->C на нижнем и верхнем основаниях так же, как на окружности (dat = qt — pi, dbt = рг — qt, dpt = 0 = dqt). Положим также d (p x I) = pi — po, d (q X I) = q± — q0¦ Рассмотрение геометрической границы поверхности axl подсказывает, что нужно положить
d{axl) = al — (qxl) — a0 + (pxl)
и
d (b х I) = bi — b0 + (q X I) — (р X /).
Этими равенствами эндоморфизм d определен так, что d2 = 0.
58
Гл. II. Гомология комплексов
Рассмотрение циклов и границ показывает, что
Я (С (S1 х /)) =Z*, (els (ро)) © Zoo (els (со + bo)).
Эта группа гомологий изоморфна группе гомологий Я (S1), найденной для окружности в примере 1. Изоморфизм может быть записан как Я .(/о) : Н (S1) ^ Н (S1 X /), если в качестве /0 взять гомоморфизм f0 : С (S1) -*-С (S1 X I) дифференциальных групп, определенный следующим образом: /0р = р0, /о<? = <?о. Да = «о, /о& = = 60- Этот же изоморфизм может быть записан так же как Я (Д), где гомоморфизм Д : С (S1) -> С (51 X /) определен подобно Д-Равенство Я (Д) = Я (Д) выполняется потому, что циклы а0 + Ь0 и на цилиндре гомологичны, поскольку их разность есть
граница
d(axl-\~bxl) — (flj -)- bj) — (flo "I- b0).
Для точного сравнения Д и Д определим функцию s соотношениями
sp — px.1, sq = qxl, sa = axl, sb = bx I.
Функция определяет гомоморфизм s : С (S1) ->• С (S1 X I) абелевых групп (но не дифференциальных групп), обладающий тем свойством, что
dsc + sdc = f1c — f0c (1.7)
для всех элементов с из С (S*). Это равенство можно прочитать так: граница d (sc) цилиндра sc над с состоит из верхнего основания Дс минус нижнее основание foC и минус цилиндр s (dc) над границей элемента с. Из этого равенства следует, что гомоморфизмы Я (Д) и Я (Д) равны, поскольку для цикла с (dc = 0) из равенства (1.7) получаем Дс — f(fi = d (sc), откуда Дс — f0c.
Отображения, обладающие свойством (1.7), будут часто встречаться под названием «цепных гомотопий».
[.УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть С — дифференциальная группа. Определение Я (С) = = Kerd/Im d можно записать как Н (С) = Coker (d' : С -*¦ Кег d), где d' индуцировано d. Используя изоморфизм С/Кег is Im d, показать, что Н (С) имеет двойственное описание как Кег (d": (Coker d) ->¦ С).
