Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема может рассматриваться как построение из комплексов К и L большого числа «гипергомологических инвариантов»: модули ‘Si (К, L), две фильтрации в 31 и две спектральные последовательности, сходящиеся, как указано выше, к градуированным модулям, ассоциированным с этими фильтрациями. Например, если основное кольцо R является кольцом целых чисел, то наш результат принимает вид следствия.
§ 12. Спектральная формула Кюннета
511
Следствие 12.3. Если К и L — положительные комплексы абелевых групп с группами гипергомологий Ш (К, L), то существует диаграмма
2 Hp(K)®Hq(L) 2 Hp(K)®Hq(L)
р+g=n j>+g=n— 1
X X
• • -*• Нп-1 (Тог1<*• L)) - 9*п - Нп (К ® L) ¦* Нп_2 (Torj (К, L)) - 91п_, ,
2 Tofj (Я (К)I Я {L)) 2 Тог, (Я (К), Я (L))
p+<2=n-l p+g=n-2
с (длинной) точной строкой и короткими точными столбцами. Здесь Тог, (/С, L) есть сокращение для Tot [Тог, (К, L)].
Доказательство. Над кольцом Z Тогр равен нулю при р > 1, поэтому первая спектральная последовательность имеет только две ненулевые строки (q — 0, q — 1) и только один ненулевой дифференциал d? : Е%, 0 -*¦ Еп-2, й следовательно, точна последовательность
О —> Е'-о -» Нп (К ® L) Д Я„_2 (Тог, (К, I)) -> Яп-2,1 0.
Ее сплетение с точными последовательностями, описывающими фильтрацию в 3?п, дает приведенную выше длинную горизонтальную последовательность. Вторая спектральная последовательность имеет только два ненулевых столбца (р = 0, р = 1), следовательно, все дифференциалы d2 = d3 = . . .= 0; это дает вертикальные точные последовательности.
Читатель может показать, что произведение
НР(К)<8 Hq (L)->${n->Hn(K(B)L)
из этой диаграммы является гомологическим умножением; произведение
Яп-! (Тог, (К, L)) ->3in-^2 Тог, (Яр (К), Я, (?))
является соответствующим «умножением» для точного слева функтора Тог,, как это определено в упражнении 11.6.
Замечание. Определение модулей гипергомологий принадлежит Картану и Эйленбергу; рассмотрение их в терминах собственных точных последовательностей принадлежит Эйленбергу (не опубликовано).
Библиографияг)
Адамс (Adams J. F.)
On the Cobar construction, Proc. NAS USA, 42 (1956), 409—412. [X.13] On the non-existence of elements of Hopf invariant one, Ann. of Math.,
72 (1960), 20—104. [VII.6; X.8] (Имеется русский перевод:
Адамс Дж. Ф., О несуществовании отображений с инвариантом Хопфа, равным единице, сб. Математика, 5 : 4 (1961).)
А м и ц у р (A m i t s u r S. A.)
Derived functors in abelian categories, J. Math, and Mech., 10 (1961) 971-994. [XII.9]
A p т и н (A r t i n E.)
Galois theory, Notre Dame Math. Lectures, № 2, Notre Dame (Ind.), 2nd ed., 1944. [IV.2]
Арти н, Тэйт (Artin E. and Tate J.)
Class field theory (Mimeographed notes), Cambridge, Harvard University,
1960. [IV.ll]
Асано, Сёда (Asano К. and S h о d a K.)
Zur Theorie der Darstellungen einer endlichen Gruppe durch Kollineationen, Comp. Math., 2 (1935), 230—240. [IV.ll]
Асмус (A s s m u s E. F., Jr.)
On the homology of local rings, III. J. Math., 3 (1959), 187—199. [VII.7]
А т и я (A t i у a h M. F.)
On the Krull-Schmidt theorem with application to sheaves, Bull. Soc. Math. France, 84 (1956), 307—317. [IX.2]
Characters and cohomology of finite groups, Pub. Math., № 9, Inst. Hautjs Etudes, Paris.
Ауслендер (Auslander M.)
On the dimension of modules and algebras. Ill, Nagoya Math. J., 9 (1955), 67—77. [VII.1]
Ауслендер, Буксбаум (Auslander M. and В u с h s b a-u m D. A.)
Homological dimension in Noetherian rings, Proc. NAS USA, 42 (1956), 36—38. [VII.7]
!) Ссылка типа [X.8] указывает то место в книге (здесь гл. X, § 8), где упомянута соответствующая статья.
Библиография
513
Homological dimension in local rings, Trans. AMS, 85 (1957), 390—405. Homological dimension in Noetherian rings. II, Trans. AMS, 88 (1958), 194-206 [VI 1.7]
Codimensioft and multiplicity, Ann. of Math., 68 (1958), 625—657. [VII.7] Unique factorization in regular local rings, Proc. NAS USA, 45 (1959), 733—734. [VII.7]
Барратт (Barratt M. G.)
Homotopy ringoids and homotopy groups, Q. J. Math. Oxon (2), 5 (1954), 271-290. [IX.1]
Барратт, Гугенгейм, Мур (Barratt M. G., G u g e n-h e i m V. К. A. M. and Moore J. C.)
On semisimplicial fibre bundles,.Am. J. Math., 81 (1959), 639—657. [VIII.9]
Басс (Bass H.)
Finitistic dimension and a homological generalisation of semi-primary rings, Trans. AMS, 95 (I960), 466—488. [V.4; VILl]
Батлер, Хоррокс (Butler М. С. R. and Horrocks G.) Classes of extensions and -resolutions, Phil. Trans. Roy. Soc. London, 254 (1961), 155-222. [XII.4]
Бокштейн (Bockstein M.)
Sur le spectre d’homologie d’un complexe, C.R. Acad. Sci. Paris, 247 (1958), 259—261. [V.ll]
Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d’homologie, C.R. Acad. Sci. Paris, 247 (1958), 396—398. [V.ll]
