Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 214

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 208 209 210 211 212 213 < 214 > 215 216 217 218 219 220 .. 227 >> Следующая

Доказательство. Для каждого п имеется проективный модуль Рп и эпиморфизм: р„ : Рп -» Нп (К); накроем р„ гомоморфизмом ап : Рп -+Сп (К). Этот гомоморфизм ап определяет цепное преобразование h (о^) : U (Рп,п) ->• К- Для каждого п существует проективный модуль Qn и эпиморфизм ап : Qn -+В„ (К); поскольку Kn+i ->~Вп есть эпиморфизм, ап можно накрыть гомоморфизмом уп : Qn ->¦ Kn+i- Этот гомоморфизм уп определяет преобразование h (уп) : V (Qn, п) -+-К- Для комплекса S типа (11.1) эти цепные преобразования h (с^) и h (уп) в комбинации дают преобразование h : S ->• К- Если sn = qn + рп + qn_! 6 Sn, то hSn = dynqn + ЧпРп + Уп-iQn-u так что h — эпиморфизм. Чтобы показать, что это собственный эпиморфизм, мы должны доказать, что если dhsn ~ 0, то dsn ~ ds'n для некоторого такого sn, что hsn = 0. Но dhsn равняется dyn-iqn-i. Поскольку yn-iqn-i есть цикл из Сп (К), а ап и рп — эпиморфизмы, существуют такие элементы р’п в Рп и qn в Qn, что yn-iqn~i = а^р'п + dynq'n. Тогда для s'n = —q’n ~ р'п + qn-i € Sn, dsn = ds'n = qn-i и hs’n = 0, что я требовалось.
Из соединения этих результатов вытекает
Предложение 11.6. Для каждого (положительного) комплекса L существует собственная проективная резольвента
....—$.Yq—>Yq-i——>Yi——>L—> 0, (11.2)
где каждый Yq—собственный проективный комплекс вида (11.1).
§11. Собственные проективные комплексы
507
Здесь У = {Уд} — комплекс комплексов; каждый комплекс Уд — это градуированный модуль {Уд, г} с граничным дифференциалом д" : У8)Г -*• Уд, причем д"д" = 0. Сама резольвента порождает цепные преобразования д, для которых д"д — дд". Изменим знак у д (точно так же, как в процессе конденсации, Х.9), положив д' = (—1)9д : Уд,г -*• У,-1, г. Тогда (У, <?', д*) — положительный бикомплекс.
Для положительных комплексов /Си! правых и левых R-модулей введем теперь соответственно некоторые модули «гипергомологий». Возьмем резольвенту У комплекса L, описанную выше, и образуем К ® У, где 0 означает ®д- Это произведение является триградуированным модулем {КР ® Уд, г} с тремя граничными гомоморфизмами дг = дк : /Ср ® Уд, г -*¦ /Ср-i ® Уд,г
<3л(^ ® у)=(-1 fmhk ® д'у, (* ® у)=(-i)dlmfek ® а**;
(11.3)
это есть трикомплекс (квадрат каждого д равен нулю, каждая пара дифференциалов антикоммутативна). Соответствующий полный комплекс Т — Tot (/С® У) имеет компоненты Тп ~2Яр ® У3, г, где р + q + г ~ п, д = дг + дп + дш. Применение теоремы сравнения . для собственных проективных резольвент показывает, что группы Нп (Т) не зависят от выбора резольвенты У. Мы определим модули гипергомологий комплексов К и L как Шп(К, L) = Нп (Tot (К ® У))- (11.4)
Замечание. Тот часто используемый факт, что тензорное произведение двух комплексов является бикомплексом, справедлив и для функторов, отличных от тензорного произведения. Пусть Т (А, В) — ковариантный бифунктор, зависящий от модулей А и В и принимающий значения в некоторой аддитивной категории %. Если К и L — положительные комплексы модулей, то применение Т дает биградуированный объект Т (КР, Lq) в а граничные гомоморфизмы в К и L индуцируют морфизмы
д'— Т (дк, I): Т (KP,Lq) -+ Т (/Cp-iA), y = (-l)PT (1,&): Т (Кр, Lq) —> Т (Кр, V,)t
которые удовлетворяют соотношениям д'д’ — 0, д"д" = 0 и д'д" = ¦= — д"д', причем последнее имеет место потому, что Т — бифунктор. Следовательно, Т (К, L) = {Т (Кр, Lg), д', д"} — бикомплекс в % с ассоциированным полным комплексом Tot [Т (К, L)\. Если необходимо рассмотреть гомотопии, то предполагается биаддитивность функтора Т, т. е. аддитивность по каждому переменному в отдельности. Если Т — тензорное умножение, то Т (К, L) есть знакомый нам бикомплекс К ® L.
508
Гл. XII. Производные функторы
УПРАЖНЕНИЯ
/ 8
1. Пусть К —*¦ L —у М есть последовательность комплексов и gf = 0. Показать, что она является собственной короткой точной последовательностью тогда и только тогда, когда выполнены условия (iii) и (iv) из предложения 11.2, а также тогда и только тогда, когда выполнены условия (И)* и (iii). Найти другие достаточные пары условий.
2. Показать, что всякий собственный проективный положительный комплекс имеет вид, указанный в лемме 11.4.
3. Доказать, что модуль Мп (К, L) не зависит от выбора резольвенты комплекса L, и доказать, что его можно найти также с помощью собственной проективной резольвенты комплекса К или с помощью резольвент обоих комплексов К и L.
4. Изучить собственные точные последовательности не обязательно-положительных комплексов.
5. Пусть 3й — собственный класс коротких точных последовательностей абелевой категории М. Изучить соответствующий собственный класс в абелевой категории положительных комплексов из М.
6. Каждый аддитивный функтор Т : М -> М индуцирует функтор Т из категории .^-комплексов К в категорию ^-комплексов. Для точного* слева функтора S и точного справа функтора Т построить естественные-отображения
Предыдущая << 1 .. 208 209 210 211 212 213 < 214 > 215 216 217 218 219 220 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed