Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Пусть Е0 : А J -» К есть любая Z-расщепляющаяся короткая точная последовательность с собственным инъективным объектом J. При р > 0 последовательность
502
Гл. XII. Производные функторы
Нр~х (J) (К) -> Яр (А) 0 ( = Яр (/)) точна. Так как тен-
зорное умножение над Z точно справа, то точна последовательность
яр_1 (J) ® я9 (С') -> яр-х (/С) ® я« (С') яр (А) ® т {С) о.
Это условие параллельно условию (8.3) в теореме, двойственной теореме 8.3; следовательно, Яр (С) 0 Я« (С) — универсальная последовательность для заданной начальной компоненты Я0 (С) 0 № (С).
Лемма 10.3. Если произведение С 0 С' имеет диагональную Л-модульную структуру [х (с ® с') = хс 0 лес' Зля х 6 П], /по при фиксированных q и С' функторы Hp+q (С 0 С') аргумента С образуют сР-связанную последовательность функторов со связывающими гомоморфизмами (Е 0 С')*.
Доказательство. Поскольку последовательность Е Z-расщепляется и точна, тензорное произведение
Е® С' : А ®С’>*В®С'-»С®С'
точно и Z-расщепляется, следовательно, оно определяет требуемые (естественные) связывающие отображения. Аналогично при фиксированных р и С функторы Яр (С) ® Я9(С') образуют универсальную ^-связанную последовательность, если связывающие гомоморфизмы 1 0 Е+ определяются с обычным знаком:
(1 0?;)(o0ff') = (-l)pa0?;a', о?Нр(С), <т'еЯ«(С'). (Ю.1)
Кроме того, функторы Нр+Ч (С 0 С') образуют ^-связанную последовательность функторов аргумента С' со связывающими гомоморфизмами (С 0 ?")„. При р = 0, Н° (С) — Си есть подгруппа П-инвариантных элементов из С. Теперь если с ? Сп и с' 6 С'п, то с 0 с' 6 (С 0 С')п, поэтому тождественное отображение индуцирует гомоморфизм Сп 0 С'п ->(С 0 С')п.
Теорема 10.4. Существует единственное семейство групповых гомоморфизмов
fP,«. Нр (д ^ Нч (С') Яр+« (С 0 С'), (10,2)
определенных для всех р>0, <7>0 и всех П-людулей С и С', для которого:
(j) /о, в — отображение, индуцированное тождественным отображением, как отмечено выше;
(ii) гомоморфизм /р- 9 естествен по С и С', р>0, д>0;
(iii) fp+1-9(?,0 1) = (Я0С), р-9, p>0,q>0;
(iv) /р-9+1 (1 0 ?') = (С 0 ?')* /р-9, р > 0,? > 0.
Последние два свойства выполняются для всех Z-расщепляющихся коротких точных последовательностей Е и Е'.
§ 10. Умножения и универсальность
503
Последние два условия означают, что отображения / коммутируют со связывающими гомоморфизмами.
Доказательство.. Мы уже определили /°>°. При q — 0 и фиксированном С' левые члены из (10.2) образуют ^-универсальную последовательность, а правые члены ^-связанную последовательность. Следовательно, отображения /р- °, естественные относительно С, существуют, единственны и удовлетворяют условию (iii) при <7 = 0. Эти отображения естественны также и по аргументу С'. В самом деле, рассмотрим гомоморфизм у : С' -*~D'. Тогда yfp'° и fp'°y—два естественных преобразования ^“-универсального функтора Нр (С) 0 Н° (С') в ^-связанный функтор Hv (С 0 D'), которые совпадают при р — 0 и, значит, совпадают при всех р.
Теперь зафиксируем р и С. В (10.2) отображения /р-9 заданы для q = 0 и в силу (iv) должны составлять естественное преобразование универсальной последовательности в связанную. Следовательно, они существуют и единственны; как и раньше, эти отображения естественны относительно С.
Наше построение устанавливает (iii) только для q = 0; остается доказать выполнение этого условия при q > 0. При фиксированном р пусть ф9 обозначает левую часть, a ij)9 — правую часть из
(iii). Это будут отображения
Ф«, ф : Нр (С) 0 Я« (С') Яр+9+1 (Л 0 С')
универсальной последовательности функторов от С' в связанную последовательность. Они антикоммутируют со связывающими гомоморфизмами, определяемыми последовательностью Е'. Действительно, в силу (iv)
(А 0 Е% ф« = (А 0 ?%/р+1'9 (Е* 0 1) = /р+1’9+1 (1 0 ?;)•(?* 0 1),
Ф9+1 (1 0 ?;> = /р+1’ 9+1 (?, 0 1) (1 0 е;>,
и (1 0 E'J (?„ 0 1) = — (?’* 0 1) (1 0 ?') по определению (10.1). Точно так же
(А 0 ?')* гр9 = (Л 0 ?')* (Е 0 С'), р'9,
(1 0 я;) = (? 0 Л% /р- 9+1 (1 0 ?;) = (Е 0 Л'), (С 0 ?'). /р-9,
и последовательность (Л 0 ?') ° (? 0 С') конгруэнтна последовательности —(? 0 Л') о (С 0 ?') в силу 3X3 леммы
о сплетении (VII 1.3.1). Поскольку ф° = *ф°, единственность отображений универсальной последовательности дает ф9 = ij)9 во всех размерностях. Этим доказательство закончено.
Теперь и-умножение (определенное, скажем, с помощью умножения Ионеды длинных точных последовательностей) для когомологии групп удовлетворяет условиям, в точности совпадающим
504
Гл. XII. Производные функторы
с условиями из нашей теоремы для /р> 9. Значит, мы имеем еще одно построение этих и-умножений (VIII.9.). Это построение может быть использовано для «вычисления» этих умножений для циклической группы П.
Путем аналогичного доказательства для Нп (И,С) = = Torn(Z(n),Z) (2, С) можно построить умножение, которое совпадает с внутренним умножением для относительного периодического функтора. Если группа П конечна, то эти два умножения можно скомбинировать в одно умножение (Картан — Эйленберг, гл. XII).
