Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Для любого частично упорядоченного множества S ковариантный функтор Т : & -> цв? является семейством (Tg | s ? 5} R-модулей вместе с.такими гомоморфизмами Т (s, г) : ТГ -v Ts, заданными для каждой пары г<$, что Т (t, s) Т (s, г) = Т (t, г) всякий раз, как Прямой предел такого семейства удобно опи-
сать в терминах теории категорий (Эйленберг, Маклейн [1945], гл. IV; Кан [1958]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть а^: Aj -*¦ Aj суть модульные гомоморфизмы. Показать, что отображение р = а* X а2 : А± ® Л2 -*¦ А{ 0 А$, характеризуемое равенствами я'Р = ajztj, / = 1, 2, характеризуется также равенствами j= Па/, / = 1, 2.
2. Показать, что ассоциативный закон для (внешней) прямой суммы модулей может быть выражен как естественный изоморфизм (Л ф В) ® С s * А 0 (В ф С).
3. Доказать, что изоморфизмы (6.5) естественны.
4. Пусть g — малая категория, в которой каждое множество horn (А, В) морфизмов имеет не более одного элемента, а каждая эквивалентность есть
4*
52
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
тождественное отображение. Доказать, что % может быть получена из частично упорядоченного множества.
Замечания. Идея модуля, восходит по крайней мере к Кронекеру, который рассматривал модули над кольцом многочленов, но только в последние двадцать лет эта идея стала играть центральную роль в алгебре. Проективные модули впервые были эффективно использованы Карта ном и Эйлен-бергом [1952]. Теперь стало ясным, что они дают линейной алгебре подходящее обобщение векторного пространства (которое всегда является свободным модулем). Эмми Нётер в своих лекциях в Геттингене подчеркнула важность гомоморфизмов.
Первоначальное ограничение в определении гомоморфизма а : А В, а именно а (Л) = В, приведенное в «Современной алгебре» ван дер Вардена, вскоре оказалось излишне стеснительным н было отброшено. Теперь естественно ожидать, что каждое определение типа математической системы дается одновременно с определением морфизм'ов такой системы. Обозначения при помощи стрелок появились в топологических исследованиях около 1940 г., вероятно в связи с использованием соответствий, а затем для непрерывных отображений. Точные последовательности впервые отмечены Гуревичем [1940]. Функтор Нот давно известен, но видимо впервые появился под этим именем у Эйленберга и Маклейна [1942]. Категории и функторы были введены теми же авторами в 1945 г. Они оказались полезными в аксиоматической теории гомологий (см. гл. II), в теории когомологий пучка над топологическим пространством (Годеман [1958]), в дифференциальной геометрии (Эресманн [1957]) и в алгебраической геометрии (Гротендик — Дье-донне [1960], см. также обзор Ленга [1961]). Вопросы обоснования теории категорий с использованием множеств и классов рассмотрены Маклей-
ГЛАВА [J
Гомология комплексов
В этой главе мы впервые встретимся с основными понятиями теории гомологий в простых геометрических случаях, где появление группы гомологий обусловлено наличием граничного оператора.
Абелева группа с граничным гомоморфизмом называется вообще «дифференциальной группой», или «цепным комплексом», в том случае, когда она снабжена размерностями. В этой главе рассматривается алгебраический процесс построения групп гомологий и когомологий для цепных комплексов. Основным является тот факт (§ 4), что короткая точная последовательность комплексов порождает длинную точную последовательность групп гомологий. Как иллюстрация в последних параграфах дано краткое описание групп сингулярных гомологий топологического пространства.
§ 1. Дифференциальные группы
Дифференциальной группой С называется абелева группа С, в которой задан такой эндоморфизм d: С-*- С, что d2 = 0; назовем d «дифференциалом» или «граничным гомоморфизмом» группы С. Элементы из С часто называются цепями, элементы из Ker d — циклами, а элементы из Im d — границами. Требование d2 — 0 эквивалентно включению Im d a Ker d. Группа гомологий дифференциальной группы С определяется как факторгруппа группы циклов по подгруппе границ
Я (С) = Ker d/Im d = Ker d/dC. (1.1)
Элементами этой группы являются смежные классы с + Im d циклов с; мы назовем их гомологическими классами и будем обозначать их как
ch(c) = c + dC?H{C). (1.2)
Два цикла с и с' из одного и того же гомологического класса называются гомологичными, что записывается как с — с\
В качестве первых примеров мы рассмотрим несколько специальных дифференциальных групп с их гомологиями. Большинство
54
Гл. II. Гомология комплексов
этих примеров будет найдено при помощи разбиения простой геометрической фигуры на клетки и взятия в качестве d оператора, который сопоставляет каждой клетке сумму ее граничных клеток,
снабженных подходящим знаком.
Пример 1. Возьмем на окружности S1 две точки р и q, разбивающие окружность на две полуокружности а и Ь. «Границами» или «концами» дуги а являются точки q и р. Введем свободную Р абелеву группу С (51) с четырьмя свободными образующими а, Ь, р и q и определим эндоморфизм d группы С (S1), положив
