Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 3.2. (3x3 лемма.) В абелевой категории в любой 3x3 коммутативной диаграмме, в которой все три столбца и последние две строки являются короткими точными последовательностями, первая строка является короткой точной последовательностью.
Мы докажем несколько больше. Назовем последовательность (а, р) : А В С точной слева, если точна последовательность 0' -*¦ А -*¦ В ->С (т. е. точна в А и в В). Таким образом, точность слева пары (a, Р) означает, что a ? ker p.
Лемма 3.3. (Уточненная 3x3 лемма.) Если в 3x3 коммутативной диаграмме все три столбца и последние две строки точны слева, то и первая строка точна слева. Если дополнительно
464
Гл. XII. Производные функторы
первый столбец и средняя строка являются короткими точными последовательностями, то и первая строка является короткой точной последовательностью.
Доказательство. Рассмотрим диаграмму (нули наверху и сбоку опущены)
л'Дв'Л с
А В —*¦ С
111 А'-* С".
По условию А' — мономорфизм, имеющий а : А’ -> В’ правым множителем, следовательно, а — мономорфизм. Поскольку произведение равно нулю и C'-vC — мономор-
физм, Ра = 0. Для доказательства точности в В' выберем подобъект Ь' ? B's, имеющий образ 0 в C’s, и пусть Ь' отображается в Ь из Вв. Тогда Ь’ и Ь отображаются в 0 из С„; ввиду точности слева строки в В существует подобъект а, который отображается в Ь. Но тогда а отображается в 0 из В1 и, значит, в 0 из А"а. В силу точности слева первого столбца существует подобъект а', который отображается в а. Теперь и а8а', и Ь' имеют один и тот же образ в Bs; поскольку В' -*¦ В — мономорфизм, asa' = Ь'. Этим показана точность строки в В'. Вновь доказательство подобно поиску элементов.
Теперь сделаем дополнительные предположения и используем диаграмму соответствующих множеств факторобъектов, в которой все отображения изменяют направление. Для того чтобы доказать, что р — эпиморфизм, по теореме 2.3 (iii) рассмотрим фактор-объект с' ? С'9 с образом 0 в В’ч. В силу (ii) той же теоремы существует факторобъект с, который отображается в с’. Пусть с отображается также в Ь 6 В®. Поскольку Ь затем отображается в 0 из B'q, точность среднего столбца в В дает b * с образом Ь. Но Ь и, значит, Ъ" переходят в 0 из А. Так как первый столбец является короткой точной последовательностью, то Ь” переходит в нуль уже в А". Точность строки в В” позволяет найти с" с образом Ь". Пусть с” отображается в с, ? (X Тогда с и с, имеют общий образ в Вч, поэтому ci = с ввиду точности. Исходный факторобъект с' оказывается теперь, как образ для с", равным нулю, так что Р — эпиморфизм, что и утверждалось.
Вновь доказательство использует факторобъекты для того, чтобы обойти вычитание. Для полноты мы присоединяем следующую лемму.
Лемма 3.4. (Симметричная 3x3 лемма.) Если в коммутативной 3x3 диаграмме средняя строка и средний столбец являют-
§ 3. Диаграммный поиск
465
ся короткими тонными последовательностями, то в том случае, когда три из оставшихся четырех строк и столбцов являются короткими точными последовательностями, четвертая строка или четвертый столбец также является короткой точной последовательностью.
Доказательство. Использовать двойственность и симметрию относительно строк и столбцов леммы 3.2.
Замечание. Имеется несколько других способов установления этих и подобных лемм в абелевой категории.
Теорема представления (Любкин [I960]) утверждает, что для каждой малой абелевой категории М существует ковариантный аддитивный функтор Т из М в категорию абелевых групп, который является точным вложением,— вложение означает, что разные объекты нли морфизмы переходят в разные группы или гомоморфизмы; точность означает, что последовательность точна в М тогда и только тогда, когда ее образ при Т является точной последовательностью абелевых групп. В доказательстве Фрейда [1960] этой теоремы изучается категория всех функторов Т, и подходящий функтор вкладывается в свою инъективную оболочку, построенную Митчеллом [1964], следуя методам Экмана — Шопфа. Используя эту важную теорему представления, обычные диаграммные леммы можно перенести нз категории абелевых групп (где они известны) в малую абелеву категорию М.
Аддитивное отношение г. А —В в абелевой категории можно определить как подобъект объекта А ф В, как и в II.6. Относительно естественного определения умножения аддитивные отношения в М образуют категорию с инволюцией Пуппе [1962] открыл эффективный метод дока-
зательства диаграммных лемм с помощью таких отношений (которые он называет соответствиями)', кроме того, этот метод дает естественное определение связывающих гомоморфизмов для точных последовательностей комплексов в М. Пуппе нашел также характеристику категории аддитивных отношений в М посредством такого множества аксиом, что каждая категория, удовлетворяющая этим аксиомам, является категорией аддитивных отношений однозначно определенной абелевой категории.
УПРАЖНЕНИЯ
В первых двух упражнениях использовать механизм «вычитания», отмеченный в доказательстве леммы о четырех гомоморфизмах.
