Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(i) Б = 0<=>Б« = 0;
(ii) 1 — мономорфизм<=>отображение сюръективно-,
(iii) I — эпиморфизм <=> отображение \q инъективно<=> Кег-nel = 0.
Если произведение gri определено, то (&п)9 = т)9 ?9 и
(iv) пара (1, rj) точна<=>пара (г]9, ?«) точна.
Эти свойства приобретают более привычную форму, если их сформулировать в терминах прообразов подобъектов (упражнения 5, 6).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверить непосредственно, что каждое утверждение теоремы 2.3 выполняется в абелевой категории всех R-модулей.
2. Если произведение определено, то показать, что im ? << ker т) тогда и только тогда, когда сокег ? > coim t), и что кег г) <; im | тогда и только тогда, когда coim rj > сокег 5.
462
Гл. XII. Производные функторы
3. Антиизоморфизм <р : S -*¦ Т частично упорядоченных множеств S' и Г — это такое взаимно однозначное соответствие, что из s s' следует g>s>q>s'. Доказать, что соответствие els х-> сокег х задает антиизоморфизм множеств Аа н Ai.
4. Доказать, что множество As является структурой (1.8) с пересечением (els X) п (els (i), определенным с помощью коуниверсального квадрата как els (Ар,') = els ([хV), и объединением (els X) vj (els p.), определенным двойственным образом.
5. Для морфизма | :'А В определим отображение |s : Bs -*¦ As формулой im р = кег [|« (сокег (3)] (в обозначениях упражнения 3, Is = = ср-Ч'Зф). Доказать, что 5s характеризуется свойствами (Is im Р) с
im Р; из |g im a<im р следует im a •< Is im р. Вывести отсюда для модулей, что |s (im р) — это прообраз подмодуля im Р относительно |.
6. Переформулировать теорему 2.3 в терминах отображений Is.
7. Показать, что im а является наибольшей нижней гранью мономорф-ных левых множителей морфизма а.
§ 3. Диаграммный поиск
Различные леммы о диаграммах (лемма о пяти гомоморфизмах, 3x3 лемма и т. д.) справедливы в абелевых категориях. Обычные доказательства, основанные на «поиске» элементов, часто можно провести, применяя вместо этого «поиск» подобъектов или факторобъектов. Мы приведем три примера.
Лемма 3.1. (Слабая лемма о четырех гомоморфизмах.) В любой абелевой категории для коммутативной 2x4 диаграммы
А -+В -» С -» D
i* Iе
А' С'—» D'
с точными строками (т. е. со строками, точными в В, С, В' и С') справедливы следующие утверждения:
(i) из того, что ? — эпиморфизм, а г\ и а — мономорфизмы, следует мономорфность ?,
(ii) из того, что со — мономорфизм, а | и ? — эпиморфизмы, следует эпиморфность т].
Доказательство. Рассмотрим соответствующую диаграмму для множеств подобъектов и будем писать а 6 As, Ь'€ В* и т. д. Для доказательства (i) рассмотрим такой подобъект с ? Cs, что t,sc = 0 (или, более коротко, возьмем подобъект с, переходящий в 0 из C's). Пусть с переходит в d из Ds. Тогда с и, значит, d
переходят в 0 из D's; поскольку отображение cos инъективно, d = 0. В силу точности существует подобъект Ъ, который отображается в с; этот подобъект b переходит в Ь’ 6 B's. И Ь', и с отображаются в 0 из Cs, поэтому ввиду точности существует подобъект а' пере-
§ 3. Диаграммный поиск
463
ходящий в Ь'. Поскольку ?s сюръективно, существует подобъект а, который отображается в а' и, значит, в Ь’. Пусть а отображается в bi из Bs. Но b и bi из Bs имеют один и тот же образ в B’s; поскольку отображение rjs инъективно, b = by. Теперь а отображается в Ь, а затем в подобъект с, который оказывается равным нулю в силу точности последовательности A->B-vC. Мы показали, что Kernel ?« = 0; по теореме 2.2 (iii) ? — мономорфизм.
Это доказательство свойства (i) представляет полную аналогию поиску элементов в диаграмме модулей. Двойственное доказательство, использующее факторобъекты, дает (ii).
Существует доказательство свойства (ii) с помощью подобъек-тов. Если дан подобъект Ь' 6 B's, то простой поиск дает подобъект b ? Bs с тем же образом в Cs, что и для Ь’\ таким образом, ф^б = = фsb’. Оперируя с элементами, мы могли бы образовать разность r\sb — b', лежащую в Кег ф. Вместо этого напишем b = = im Р, b' = im р'; - тогда im (фпР) = im (фр'). По предложению 2.1 существуют такие эпиморфизмы аь сг2, что фпРсх! = фР'а2
и, следовательно, ф8 im (ripa’i — р'ст2) = 0. Точность в Б' и эпи-морфность дают новый элемент b\ = im Pi ? Bs, который отображается в im (проч — Р'ог) 6 B's¦ По предложению 2.1 имеются такие эпиморфизмы сх3, сг4, что т]р1<тз = 'прог1ог4 — Рсг'сг4; поэтому равенство
V = im (p'a2a4) = (im (Pcr^ — pta3))
показывает, что b'?x\sBs, так что rj — эпиморфизм. Мы показали, каким образом предложение 2.1 может быть использовано для «вычитания» двух подобъектов с общим образом так, как если бы они были элементами модуля.
Из слабой леммы о четырех гомоморфизмах также вытекает лемма о пяти гомоморфизмах (лемма 1.3.3). Напомним, что запись х j) ст означает, что (х, ст) — короткая точная последовательность.
