Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
S(C')—\ Т(С)
j,S(Y) |,Т(7) (8.6)
S(C)-^%T(C).
Эта диаграмма получается из диаграммы (8.3) изменением направления вертикальных стрелок.
Если Т — функтор из категории % в категорию SB, a S — функтор из SB в третью категорию %, то произведение отображений SoT определяет функтор из 4$ в %, вариантность которого равна произведению вариантностей (ковариантность = + 1, контрава-риантность = — 1). Например, пусть — категория векторных пространств над фиксированным полем F, и пусть D — функтор из <ЛР в (М-р, сопоставляющий каждому пространству V сопряженное пространство D (У) = Нот*. (V, F), а каждому линейному преобразованию (= морфизму из eMF) а: V-*¦ V" индуцированное преобразование а* : D (У') -*¦ D (V), определенное как в (6.3). Тогда D есть контравариантный функтор, в то время как D2 = DoZ> является ковариантным функтором, сопоставляющим каждому линейному пространству V его второе сопряженное пространство. Существует гомоморфизм
h^h(V):V ->D(DV),
который сопоставляет каждому вектору v такую функцию hv : DV -*¦ F, что (hv) f = / (v) для каждого преобразования f?DV. В случае конечномерности V гомоморфизм h(V) является известным изоморфизмом пространства V и его второго сопряженного пространства. Легко проверяется, что h определяет естественное преобразование h : I -*-Da (где I обозначает тождественный функтор).
Имеется аналогичный естественный изоморфизм конечной абелевой группы с группой характеров ее группы характеров.
Укажем пример неестественного изоморфизма. Напомним, что для любого конечномерного векторного пространства V существует изоморфизм k : V s* D (У). А именно для каждого такого пространства V выберем фиксированный базис vu . . ., vn и построим в D (V) дуальный базис и1, . . ., vn, где vi определены требованием, что v1 (vj) равны 0 или 1 соответственно при i ф j и i — j.
Положим k (Vi) — vl. Это линейное преобразование k = ~k(V):V-*-D (V) определено для каждого V. Оно отображает кова-риантный тождественный функтор I в контравариантный функтор D. Если мы ограничимся категорией, объектами которой являются конечномерные векторные пространства, а морфизмами — изоморфизмы а этих пространств, то можно заменить функтор D ковариант-
48
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
ным функтором D, определенным следующим образом: D (У) = = D (У), D (а) = D (а-1). Однако k (V) : У -> D (У) не является ¦естественным преобразованием. Например, если пространство У одномерно и изоморфизм а : У -> У определен равенством a (vi) = = cv 1 для некоторого скаляра с 6 F, О Ф с Ф 1, то D (a) k (У) vt = = (1/с) v1; однако k (У) avi — cv1, так что диаграмма (8.3) в этом случае некоммутативна.
Функторы от нескольких аргументов могут быть ковариантны-ми по одним аргументам и контравариантными по другим. Для иллюстрации достаточно определить функтор от двух аргументов, контра-вариантный по одному и ковариантный по другому. Пусть 38, % и 3 — три категории. Бифунктором Т, определенным на х х *6 со значениями в 35, контравариантным в 98 и ковариантным в %, называется пара функций, состоящая из функции, сопоставляющей каждой паре объектов В 6 38 и С ? % объект Т (В, С) 6 3,
и функции, сопоставляющей каждой паре морфизмов ji : В В"
и у : С С" морфизм
Г(Р, уУ:Т(В', С)-*Т(В, С') (8.7)
из 3. (Заметим, что направление по аргументу В меняется, а по аргументу С сохраняется.) Эти функции должны удовлетворять условиям
T(Ibi 1с) = 1т(в, о» (8.8)
Т(Р'Р, Y Y)= Т (Р, y") Т (Р', у), (8.9)
причем последнее соотношение должно выполняться всякий раз, как определены произведения Р'Р и у'у. Тогда произведение справа определено, так как для Р' : В" -> В" и у' : С' С" ввиду (8.7) получаем
Т (В", С) Т (ВС') —УЛ Т (В, С").
Удобно положить Т (Р, 1с) = Т (Р, С) и Т (1 в, у) = Т (В, у). Если зафиксировать В, то Т (В, С) и Т (В, у) становятся функциями, определяющими ковариантный функтор из % в 35, в то время как при фиксированном С функции Т (В, С) и Т (р, С) определяют контравариантный функтор из 38 в 3). Эти функции Т (В, у) и Т (Р, С) определяют функцию Т (Р, у), поскольку ввиду (8.9) Т (Р. у) = Т (piB, vie) = Т (В, у) Т (Р, С). Мы предоставляем читателю возможность провести окончание доказательства следующего предложения.
Предложение 8. 1. Пусть 38, % и 3)— три категории и пусть Т — функция, сопоставляющая каждой паре объектов В и С объект Т (В, С) в 2В- Пусть при каждом фиксированном В ? 38 функция Т (В, С) и некоторая функция Т (В, у) определяют кова-
§ 8. Функторы
49
риантный функтор 'ё ->- ??, а при каждом фиксированном С^'ё функция Т (В, С) и некоторая функция Т (Р, С) определяют контравариантный функтор 38 3. Предположим, что для каж-
дой пары морфизмов р: В В* и у: С -*¦ С‘ имеет место коммутативная диаграмма
Т (В', С) ^Л т (В', С') то, с)| |то, о (8.10)
