Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 17

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 227 >> Следующая

*) Пропущено следующее условие: если х и х' — две единицы, то морфизмы а, для которых определены произведения ах и х'а, составляют множество.— Прим. перев.
§ 8. Функторы
45
§ 8. Функторы
Пусть % и 35 — категории. Ковариантным функтором Т из % в 35 называется пара отображений (каждое из которых обозначается одной и той же буквой Т): отображение, определенное на объектах и сопоставляющее каждому объекту С объект Т (С) ? 35, и отображение, определенное на морфизмах и сопоставляющее каждому морфизму у: С -> С из % морфизм Т (у) : Т (С) -*¦ Т (С') из 35. Эта пара отображений должна удовлетворять следующим двум условиям:
Т(1с) = 1т(С)» (8.1)
Т фу)~Т ф)Т (у), ру определено в %. (8.2)
•Следовательно, ковариантный функтор Т из категории % в категорию 3) —это отображение из Ч& в 3), которое сохраняет области •определения и области значений морфизмов, а также единицы и произведения.
Например, пусть R — фиксированное кольцо. Для произвольного множества Т пусть F (Т) = HtRt есть свободный модуль относительно множества Т. Тогда F является ковариантным функтором из категории множеств в категорию /^-модулей. Возьмем теперь, например, категорию ^ всех групп, где G" — [G, G] — коммутант группы G, т. е. подгруппа, порожденная всеми «коммутаторами» ^2Й’1Й’1» гДе gi € G. Каждый гомоморфизм у: G -> Я, очевидно, отображает & в Я' с помощью у'. Отображения Т (G) = G" и Т (7) = = у'' превращают G' в ковариантный функтор из категории 'В в категорию Ь. Аналогично факторгруппа G/ [G, G] может рассматриваться как ковариантный функтор из категории & в категорию абелевых групп.
Пусть S и Т — два ковариантных функтора из категории % в категорию 35. Естественным преобразованием h: S -*• Т называется отображение, которое сопоставляет каждому объекту С ?4$ такой морфизм h (С): S (С) -> Т (С) из 35, что для каждого морфизма у: С -> С' из % в категории 35 имеет место коммутативная диаграмма
S (С) Т (С)
js(v> [ты (8.3)
S{C')—%T(C').
Если морфизмы h (С) удовлетворяют этому условию коммутативности, мы будем более коротко говорить, что «А естествен». Если к тому же каждый морфизм h (С) является эквивалентностью, то мы будем говорить, что h — естественный изоморфизм.
46
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Интуитивно, естественное преобразование h определяется единообразно или одной формулой для любого объекта из рассматриваемой категории. Например, определим для каждой группы G гомоморфизм h. (G): G-*- G/[G, G], сопоставив каждому элементу g 6 G смежный класс g [G, G] из факторгруппы по коммутанту. Диаграмма типа (8.3) в этом случае коммутативна, так что h можно рассматривать как естественное преобразование тождественного функтора в функтор взятия факторгруппы по коммутанту (оба функтора в категорию всех групп). Другие (и более наглядные) примеры естественных преобразований вскоре появятся (например, см. предложение II. 4.2 об относительной гомологии).
Контравариантный функтор Т из ^ ъ 35 состоит из отображения Т, определенного на объектах из % и сопоставляющего каждому объекту С объект Т (С) ? 3, и отображения Т, определенного на морфизмах и сопоставляющего каждому морфизму у : С -*¦ С' морфизм Т {у): Т (С') Т (С) из ЭИ, имеющий противоположное направление. Эта пара отображений должна удовлетворять двум условиям:
Т{ 1с)=1т(о, С€«, (8.4>
!T(Py) = 7,(y)T(P)i произведение p-у определено в Чё. (8.5)
То, что произведение Ру определено, означает, что у: СС\ Р: С‘ -*¦ С", следовательно, Т (р): Т (С") Т. (С'), Т (у): Т (С')
Т (С) и поэтому произведение Т (у) Т (Р) определено. Значит, изменение порядка множителей в равенстве (8.5) необходимо.
В § 6 мы отмечали, что при фиксированном /?-модуле В Ногпн (А, В) есть контравариантный функтор по аргументу А, определенный в категории R-модулей. Группа характеров абелевой группы А — это группа Ch А = Homz (А, Р), где Р — факторгруппа аддитивной группы действительных чисел по подгруппе целых чисел. Если, как в § 6, определить отображение Ch а — а*, где а — гомоморфизм, то Ch становится контравариантным функтором из категории абелевых групп в ту же самую категорию или из категории дискретных абелевых групп в категорию компактных абелевых групп при обычном определении топологии в группе Ch А. Для любой категории 35 и двойственной ей категории 3)°v пара отображений Р, где PD = D*, Р (б) = б*, задает контравариантный функтор из 35 в 35°®. Каждый контравариантный функтор Г из % в 3 может рассматриваться как ковариантный функтор из % в З)0?, именно как произведение РТ.
Естественным преобразованием h : S Т, связывающим два контравариантных функтора из $ в 35, называется функция, сопоставляющая каждому объекту С ?% такой морфизм h (С) \ S (С) -*¦ -*• Т (С) в D, что для каждого морфизма у : С С’ из % коммута-
§ 8. Функторы
47
тивна следующая диаграмма:
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed