Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
4. Построить аналогичное внешнее умножение для относительного функтора Ext.
§ 8. Случай градуированных алгебр
Если (3Л и ЛЛ — модули над градуированной К-алгеброй Л, то их тензорное произведение G<2)a^, описанное в (VI.5.7), является градуированным К-модулем. Кроме того, функтор G ®лЛ точен справа: каждая К-расщепляющаяся короткая точная последовательность А >-» В -» С левых A-модулей дает точную справа последовательность
G®aA-*G®aB->G®aC->0
градуированных К-модулей. Для продолжения этой точной последовательности влево необходимы (А, К)-относительные периодические произведения Torn (G, С), каждое из которых, подобно <3<2)лЛ, должно быть градуированным К-модулем Тогп = = {Тогге>р | р = 0, 1, . . .}. Мы сейчас опишем, как это происходит.
Можно построить В-резольвенту для любой градуированной К-алгебры А, используя общую конструкцию из IX.7 для следующей резольвентной пары категорий: & — категория (автоматически градуированных) левых A-модулей С, М — категория градуированных К-модулей М, F (М) = А®М, е (т) = 1 ® т, причем в этих категориях в качестве морфизмов берутся морфизмы степени 0. Заметим, что А = {Ар}, С = {Ср} и М = {Мр} — градуированные К-модули. Явные формулы для Б-резольвенты из § 2 по-прежнему остаются в силе, если считать, что каждый A-модуль Вп (Л, С) градуирован; действительно, степень образующего из Вп можно определить так:
deg Я [Я,! | ... \ %п]с = deg Я + deg -j- ... -j-deg^ + degc. (8.1)
Этот элемент имеет в то же время размерность п как элемент Вп (Л, С); другими словами, комплекс В (Л, С) биградуирован подмодулями Вп,р (Л, С) размерности п и степени р в смысле (8.1).
382
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Вследствие этого относительный периодический функтор Тог<Л'к> биградуирован. Действительно, если G — правый Л-модуль, то периодический функтор вычисляется как гомология комплекса X = G(%)aB (А, С), где каждый модуль Хп = G ® лВп является градуированным К-модулем. Именно Хп порождается элементами g [Aj | . . . | Хп ] с, степень которых определяется равенством (8.1) (причем X заменяется на g). Граничный гомоморфизм д: Хп — -*-Xn_i имеет степень 0 относительно этой градуировки. Поэтому для каждой размерности п модуль гомологий Tor„ (G, С) = Нп (X) является градуированным К-модулем и его можно записать как семейство {Нп,р (X)} К-модулей, так что относительный периодический функтор — это биградуированный К-модуль
То#-*> (G> С) = Нп, р (G ®ЛЯ (Л, С)). (8.2)
Первая степень п — это резольвентная размерность, вторая степень р — это «внутренняя» степень, появившаяся из градуировки модулей G и С. В стандартных длинных точных последовательностях для Тогп отображения имеют степень 0 относительно внутренней градуировки р, и поэтому эти последовательности можно рассматривать как семейство длинных точных последовательностей из модулей Тогп>р, по одной для каждого р с переменным п.
Аналогичные замечания можно сделать об относительном функторе Ext(A> к). Он является когомологией комплекса Нотл (В (Л, С), А), который является комплексом Z-градуиро-ванных К-модулей, т. е. семейством комплексов {Нотл (В, А)}г по одному для каждого целого р. Значит,
Ех^лГю (С, А)=Нп (Нотл(? (Л, С), А))
есть биградуированный К-модуль, вторая градуировка (по р) которого есть Z-градуировка.
Достаточно знать значения этого функтора для всех модулей С и Л и для р = 0. Мы докажем это путем замены степеней. Для каждого градуированного К-модуля М мы обозначим через L (М) тот же самый модуль, все степени которого увеличены на 1, т.| е. L (М)п+1 = Мп. Тогда тождественное отображение индуцирует изоморфизм I : М -+L (М) градуированных К-модулей степени 1 с обратным изоморфизмом l~x : L (М) ->¦ М. Гомоморфизм [jl : Л1 М' степени d —это семейство К-модульных гомоморфизмов fAn : Мп -> M'n+dl соответствующий гомоморфизм L (\i) : L (М) -+L(M') той же степени d определяется следующим образом: 1[(ц.)п+1 = (—-l)d : L (M)n+1 -*-L (Af')n+d+i, другими словами,
L(n)ltn — {— 1)йее,11цт, m?Mn, lm?L(M)n+i. (8.3)
§ 8. Случай градуированных алгебр
383
Знак появляется в силу обычного правила перестановки морфизмов L (ц.) и I степеней d и 1. Поскольку L (ц'ц) — ^ (fO ^ (м)> 70 L — ковариантный функтор в категории градуированных К-модулей с морфизмами степени 0, а I : М -> L (М) — естественное преобразование. Левый A-модуль А является градуированным К-модулем с операторами A <gi А -*-А, так что L (Л) также является левым A-модулем с операторами
MJa) = (-l)deg*HU), а?Ап, ta?L(A)n+l, (8.4)
L — ковариантный функтор в категории A-модулей, / : Л LA есть гомоморфизм A-модулей степени 1 являющийся естественным преобразованием тождественного функтора в L. Знак в (8.4) будет в точности знаком, который требуется правилом перестановки
I (Ка) — (—l)deg! degA К (la) для гомоморфизма степени 1. Умножение на I дает естественный изоморфизм
Нотл (С, А) е* Нотд-1 (С, LA),
итерирование которого приводит к естественному изоморфизму Нотл (С, Л)^Ноп4(С, LpA).
