Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 7. Гомология тензорных произведений
379
К-модулей, естественные относительно бимодулей А и А' и коммутирующие со связывающими гомоморфизмами для К-расщепляю-щихся коротких точных последовательностей бимодулей А или А’. Для k = т = 0 эти умножения индуцируются тождественным отображением в A 0 А'. Эти умножения ассоциативны.
Доказательство. Модули гомологий Я* (Л, Л) определяются как модули Hk (А ®аВ), где Q обозначает алгебру Л 0 А°р, а В есть сокращение для В (Л, Л). Гомологическое умножение из (VIIIЛ.2)—это естественное отображение
рн: Яд (Л 0 оВ) 0 Нт (А' 0 0S') Hh+m [(А 0 Л') 0одо-(5 0 В')].
Область значений отображения изоморфна Яд+т (Л 0 Л', Л 0 Л'), причем этот изоморфизм устанавливается эквивалентностью из (7.3), так что умножение рА из (7.4) определяется как произведение g*pn’, в размерности нуль [ср. с (4.4)1 оно переводит •els а 0 els а' в els (а 0 а'). Если Е есть К-расщепляющаяся короткая точная последовательность Л-бимодулей, то тензорное произведение Е 0кЛ' тоже является короткой точной последовательностью Л-бимодулей, поэтому определены соответствующие связывающие гомоморфизмы. Они коммутируют с рн по теореме VIII. 1.3 и с естественным отображением g# и, значит, с умножением рл.
В данном выше определении этого гомологического умножения В-резольвента В = В (А, А) может быть заменена любой К-рас-щепляющейся резольвентой А из относительно проективных Л-бимодулей.
Случай когомологий рассматривается аналогично. Запишем Hk (Л, Л) как Hh (Нота (В, Л)) и используем когомологическое умножение
ря : Я* (Нотп (В, Л)) 0 Нт (Нота> (В', А')) -> я*+т (Ноша®о' (В 0 В', Л 0 А'))
из (VI11.1.3); для определения рА умножим ря на изоморфизм /*, индуцированный цепной эквивалентностью f из (7.3): рА = f*pH. Поскольку / — отображение Александера — Уитни, рЛ можно рассматривать как симплициальное и'-умножение. Если k = т — О, то Я0 (Л, Л)—это К-подмодуль Лл модуля Л, состоящий из инвариантных элементов из Л, как показано в (3.3). Теперь из а ? Лл и а' ? А'а' следует, что а 0 а' 6 (Л 0 Л')л®л\ поэтому тождественное отображение индуцирует К-модульный гомоморфизм
Лл 0 Л,л' —>(Л 0 Л')л®л'^Я°(Л0 Л', А 0 Л').
Приведенная выше формула для / в размерности нуль показывает, что это отображение совпадает с рА.
380
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Теорема 7.4. Если А и А' — алгебры над одним и тем же полем, то гомологическое умножение для бимодулей А и А' порождает для каждого п естественный изоморфизм
Ра- 2 Hh (Л, А) 0 Нт (Л', А') й Я„ (Л ® Л', А 0 А').
к-{-тп=п
Если дополнительно А и А' суть К-модули конечного типаг то когомологическое умножение является естестенным изоморфизмом
Ра- 2 Hk(A, А)0 Нт(А', Л')йГ(Л0Л', А® А’).
k-{-m=n
Доказательство. Первый изоморфизм есть непосредственное применение тензорной формулы Кюннета, указанной в теореме VIII. 1.1. Если алгебра Л конечного типа, то каждый модуль Вп (Л, Л) является свободным Л-бимодулем конечного типа, поэтому Нот-0 -перестановка есть изоморфизм и можно применить теорему VIII. 1.2.
Эта теорема впервые была доказана Розе [1952] до того, как стала известной техника резольвент, поэтому его доказательство существенно зависит от прямого построения цепной эквивалентности (7.3), использующего перетасовки для описания отображения g.
Для алгебр над полем Нп (А, А) — Ext^-A (Л, А).
Используем символ bidim Л для обозначения гомологической размерности алгебрыЛ как бимодуля. Тогда эта теорема показывает, что для алгебр конечного типа над полем bidim (Л 0 Л') > bidim Л + bidim Л'. Аналогично теорема 6.2 показывает, что
bidim (Г х S) = Max (bidim Г, bidim 2).
Отсюда следует еще одно, более причудливое, доказательство результата предложения VI 1.5.2 о том, что из bidim Г = 0 = bidim 2 следует bidim (Гх 2) = 0.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Для правого модуля G и левого модуля А над Л k-e относительное периодическое произведение определяется как Я* (<30 АВ 0 ЛЛ), где В обозначает В (Л, Л). Внешнее умножение для относительного периодического функтора — это отображение
рТ : Тог?Л- к> (G, А) 0 То4л’> к> (O', А') -> Tor$®A'- к) (G0G', А 0 А’),
определенное как произведение гомологического умножения для комплексов, цепного преобразования
(G 0Л В 0Л А) 0 (G' ® Д.Я' 0Л, A’) s (G0 G') ®Л8Л. (В 0В')'®а®л' М0Л'),
получающегося путем двойного применения внутренней четверной перестановки, и цепной эквивалентности g из (7.3). Показать, что умножение Рт
§ 8. Случай градуированных алгебр
381
естественно, коммутирует со связывающими гомоморфизмами по всем четырем аргументам и сводится в случае k = т = 0 к внутренней четверной перестановке.
2. Для поля К показать, что относительное периодическое умножение из упражнения 1 дает изоморфизм
2 Тогд (G, A) ® Torm (O', A') as Torn (G ® G', Л ® А').
k-\-m—n
3. Показать, что умножение из текста является [в силу (1.4)] специальным случаем внешнего умножения для относительного периодического умножения.
