Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 158

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 227 >> Следующая

Значит, ф — это изоморфизм групп коцепей и, следовательно, групп когомологий. Доказательство для гомологий аналогично.
Изоморфизм, установленный в этой теореме, можно описать в более инвариантных терминах как результат замены колец. Для случая гомологий рассмотрим Нп (Z (П), С) как относительное периодическое произведение Тогп (С, Z (П)) (см. 1.4) для пары колец (Z (П) 0 Z (П)°р, Z), а Нп (П, Сх) как относительное периодическое произведение Tor„ (С%, 8Z) (см. 5.2) для пары колец Z (П) и Z. Отображения % и / : Z Z (П) порождают морфизм
(X, 1 с, /): (Z (П), Z; С*, zZ) ->(Z (П) 0 Z (П)ор, Z; С, Z (П))
из категории М++ «замен колец» (IX.8.10). Диаграмма (5.6) описывает h как цепное преобразование, найденное в IX.8 с помощью теоремы сравнения, так что изоморфизм, указанный в теореме,— это в точности индуцированнное отображение (%, 1с, I)* Для относительного периодического произведения при замене колец.
Замечание. Среди работ, относящихся к точному вычислению групп когомологий и гомологий групп, укажем работы Лиидона [1950] для групп с одним определяющим соотношением, Грюнберга [1960] для резольвенты, построенной из свободного представления П, Уолла [1961] для «сплетенной» резольвенты для группового расширения.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Картан — Эйленберг, стр. 201.) Гомологию и когомологию абелевой группы G, рассматриваемой как тривиальный П-модуль, можио вычислить с помощью редуцированной 5-резольвенты. Установить точность последовательностей
0 —> Нп (П, 2) 0 G Нп (П, G) -» Тог (Яп_ 4 (П, Z), G)—> 0,
0 -> Ext (Я«-1 (П, Z), G) —> Я« (П, G) -» Нот (Я» (П, Z), (?) -> 0.
§ 6. Расширения основного кольца и прямые произведения_______________375
2. Для абелевой группы G показать, что Н± (П, G) G® (П/[П, П]).
3. Исследовать результат сопряжения на Нп (П, G) (см. предложение IV.5.6).
4. (Картан—Эйленберг, следствие Х.4.2.) Если абелева группа П содержит моноид М, который порождает П как группу, то каждый П-модуль А или G является также Af-модулем. Показать, что вложение М -*¦ П индуцирует изоморфизмы
Нп (П, A) а Я» (Af, А), Нп (М, G) « Нп (П, G).
§ 6. Расширения основного кольца и прямые произведения
В этом параграфе будет изучаться действие на гомологию и когомологию Хохшильда некоторых стандартных конструкций на алгебрах: расширений основного кольца и прямых произведений. Тензорные произведения будут рассмотрены в § 7.
Рассмотрим расширение основного кольца К до коммутативной К-алгебры R. Каждая К-алгебра Л порождает R-алгебру Ан = = R <g) Л; имеются кольцевые гомоморфизмы /к : К -*¦ R и уЛ : Л ->• AR, определяемые формулами ук (k) = k\R и jA (X) = = lR(g) Я, так что (ук, /л): (К, Л) ->(R, Лк) есть замена алгебр. Каждый Лк-модуль или бимодуль превращается при отступлении вдоль /л в Л-модуль или бимодуль. Имеется также возможность обратного перехода. Каждый К-модуль М определяет R-модуль Мв =
— R ® М и гомоморфизм К-модулей jM ¦ М -> MR, задаваемый формулой ]’м (т) = \ ® т. Каждый К-модульный гомоморфизм ja : М -v N определяет R-модульный гомоморфизм ц.н : Мв ->¦ NR равенством ц.к (г ® т) — г ® уип, так что \iRjM — /nM-- Поэтому функции Тв (М) = MR, TR (ц) = nR определяют ковариантный функтор из категории К-модулей в категорию R-модулей. Этот функтор сохраняет тензорные произведения (<g), как всегда, означает ®к), поскольку отображения /м и jN порождают естественный изоморфизм
Ф: (М ® N)r ^ MR ® RNR, y(r®(m®n)) = rjMm<g)iNn, (6.1) обратный к которому определяется формулой
Ф-1 \{г 0 пг) ®д (г' ® п)) = rr' ® m ® п.
Мы будем рассматривать ф как отождествление.
Для любого R-модуля U и любого К-модуля М имеется естественный изоморфизм
гр: U ® M^U ®нМй, г|з(ы ® m) = u®RjMm (6.2)
R-модулей, причем R-модульная структура в U ® М задается с помощью R-модульной структуры в U. Обратное к г|з отображение дается формулой i|)_1 (ы (г ® m)) = иг ® т. Существует ана-
376
Гл. X. Когомология алгебраических систем
логичный естественный изоморфизм ^-модулей
% : Нот (М, [/) а* Нотл (MR, U), (%f)(r <g> m) = rf(m), (6.3)
причем обратный изоморфизм действует на каждый Я-модульный гомоморфизм g : MR -*-U так: (x-1g) (т) — g (1 0 m).
Группы гомологий и когомологий расширенной алгебры Ав с коэффициентами в любом Ан-бимодуле А, по существу, определяются гомологией и когомологией алгебры Л с коэффициентами в А, превращенном в Л-бимодуль отступлением вдоль /д : Л -*¦ Лн.
Теорема 6.1. Для К-алгебры Л, для коммутативной К-алгебры R и для каждого AR-бимодуля А существуют естественные изоморфизмы
т» : Нп (Л, jAj) & Нп (Ап, А), а*: Нп (Лй, Л) ех Нп (Л, ,-Л,-)
R-модулей, где Н (А, ^Л;) превращается в R-модуль при помощи R-модульной структуры в А. Здесь т# индуцируется заменой алгебр т = (/к, /А, U) : (К, Л, jAj) ->» (R, AR, А) в категории 38+, а а* —заменой а = (jK, }А, 1А) в категории (см. § 4).
Доказательство. Отображение т, : A 0 А” -»-Л 0Л (AR)n как отображение соответствующих ненормализованных комплексов является произведением отображений "Цз : А 0 А" а* а* А ®н (Аге)й и <р: (Лп)в ?? (Лв)п. Оба эти отображения в силу (6.1) и (6.2) являются изоморфизмами, следовательно, т, — изоморфизм комплексов и, значит, изоморфизм их модулей гомологий Нп (Л, jAj) и Нп (ЛВ,Л).
Предыдущая << 1 .. 152 153 154 155 156 157 < 158 > 159 160 161 162 163 164 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed