Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 5.3. Для правого модуля G над моноидом М существует изоморфизм Нп (М, G) ^ Нп (Z(М), eG) гомологии моноида и гомологии алгебры Z(M). Этот изоморфизм естествен по аргументу G.
Доказательство. Возьмем Z-алгебру Л = Z (М). Для любого Л-бимодуля В изоморфизм BG ®л-л B^G ®л (В ®Ле2) задается сопоставлением g ® b ® (Ь ® 1). Применим его к случаю В = В (Л, Л); это показывает, что комплекс, использованный в определении гомологии алгебры Л с коэффициентами в е<?, изоморфен комплексу, использованному в определении гомологии моноида М над G.
Для когомологий имеется соответствующий результат.
Предложение 5.4. Для левых И-модулей А существует естественный изоморфизм
Hn(U,A)^Hn(Z(Il),As).
Доказательство. Этот результат есть следствие предложения 3.4, так как когомология группы П, стоящей слева, определена с помощью резольвенты В (Z (П)), а когомология алгебры Z (П) — с помощью резольвенты В (Z (П), Z (П)).
Эти предложения сводят (ко)гомологию групп к (ко)гомологии алгебр. Обратно, (ко)гомология Z-алгебры Z (П) сводится к (когомологии группы П. Эта редукция основана на двух специальных свойствах группового кольца Z (П). Во-первых, формула tyx = = х ® х определяет кольцевой гомоморфизм i|j : Z (Ц) -*¦ Z (П) ® <gi Z (П); действительно, -Цз — это коумножение, которое превращает алгебру Z (П) в алгебру Хопфа. (VI.9). Во-вторых, алгебра Z (П) канонически изоморфна своему антиизоморфному кольцу. Действительно, если антиизоморфное кольцо Z (П)°р состоит, как обычно, из элементов г°р, где г ? Z (П), с умножением r°Ps°P = = (sr)°р, то функция ? (х) = (лг-г)0Р, заданная в группе П со значениями в Z (П)°р, имеет свойства: ? (1) = 1, I (ху) = ?(*)? (у) и, следовательно (предложение IV. 1.1), продолжается до кольцевого гомоморфизма ? : Z (П)-»-Z (П)ор, являющегося, очевидно, изоморфизмом. Произведение отображения 1 <g> ? и коумножения дает кольцевой гомоморфизм
X: Z (П) Л Z (П) <g> Z (П) Z (П) <g> Z (П)ор; (5.4)
этот кольцевой гомоморфизм % продолжает мультипликативное отображение %(х) — х ® (х-1)ор.
§ 5. Гомология групп и моноидов
373
Отображение % позволяет провести редукцию (бимодульной) когомологии алгебры Z (П) к когомологии группы П. Каждый бимодуль пСп является левым Z (П) <g> Z (П)°р — модулем и, значит, левым П-модулем %С, где структура определяется отступлением вдоль %. Эти новые левые операторы из П в С будут обозначаться х о с, х (Е П; они не совпадают с исходными левыми операторами, но могут быть определены в терминах бимодульных операторов так: х о с = лгдг1. Аналогично С% обозначает правый П-модуль с операторами С о X = Х_1СХ.
Теорема 5.5. Для группы П и U-бимодуля С существуют естественные изоморфизмы
Нп (Z (П), С) & Нп (П, ХС), #„ (П, С*) ~ (Z (П), С), (5.5)
индуцированные цепным преобразованием h\B(Z(Jl)) ->-В (Z (П), Z (П)), определенным следующей формулой:
hn{x[Xi\...\ Xn\)=X[Xl | . . . | Хп] (XXi . . . Хп)'1, XI 6 П.
Коротко говоря, «двусторонние» операторы в когомологиях групп сводятся к «односторонним» операторам (Эйленберг, Маклейн [1947], § 5).
В доказательстве мы будем обозначать через BL левую 5-резольвенту В (Z (П)) и через В — бимодульную В-резольвенту В (Z (П), Z (П)). Поскольку Вп — свободная абелева группа с образующими х lxi \ ... \ Хп], данная выше формула определяет гомоморфизм hn'. В% -+-Вп абелевых групп. Для левого оператора у ? П
К (ух [Xi |... \хп]) = у {х [Xi |... j хп] (XXi ... хп)-1} у'1;
это равенство показывает, что h : Вь -*-%В есть гомоморфизм левых П-модулей. Теперь рассмотрим диаграмму
eL 6
Z<—•—¦ D-k <— D-L <— nL
---->?>0 —>?>1 —>?>2 - • •
8-1 SO Sx
1 j, I h° 4- Ih2 i5-6)
Z(K)1~B0tZ в, Г^В2...,
8-1
в которой I: Z ->-Z (П) есть вложение. Стягивающие гомотопии s наверху и внизу определяются посредством «перемещения первого аргумента внутрь», откуда вытекает коммутативность hs = sh (причем = /). Теперь гид наверху и внизу однозначно определяются с помощью рекурсии тем фактом, что s — стягивающая гомотопия; отсюда следует, что hd — dh, IeL — eh0. Эти соотношения коммутативности можно, с другой стороны, установить
374
Гл. X. Когомология алгебраических систем
непосредственной проверкой; при этом нужно обращать внимание только на первый и последний члены формулы для взятия границы. Значит, h: BL В есть цепное преобразование.
Пусть теперь h* — индуцированное отображение коцепных комплексов Нот (В, С). Произведение h* и отступления Нотд.п -*¦ Нотп дает коцепное преобразование
Ф: Нотп-n (В, С) —> Нотп хС) —> Нотп (BL, %С).
Именно для п-мерной коцепи / слева
(ф/)(агь ..., л„) = /(А[дг1| ... [*n]) = [/4*i>..., хп)](х1... ХпУ1-
Но для л-мерной коцепи g из В1‘ обратное отображение к <р определяется формулой
(ф_1?>(*1, . . ., Хп) = [g (хь . . ., Xn)] (Xi... Хп).
