Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Функторное поведение модулей гомологий алгебр аналогично функторному поведению групп гомологий групп (IV.2.6). Рассмотрим четверку (К, А, А, С), где К — коммутативное кольцо, Л есть К-алгебра, а А и С суть А-бимодули. Замена алгебр (с + у аргумента Ли — у аргумента С) — это четверка
I = (х, р, а, у): (К, А, Л, С) -+ (К', А', Л', С'), (4.5)
24—353
370
Гл. X. Когомология алгебраических систем
где х :К-уК" и р:Л-> Л' суть такие кольцевые гомоморфизмы, что р (Щ — (xk) (рЯ) для всех k и Я, и а: А ->¦ РА'Р и у : рСр-*-С (противоположное направление!) суть гомоморфизмы Л-бимо-дулей, т. е. а (Ха) = (рХ) (аа) и а (аХ) = (аа) (рХ). Категория с этими морфизмами ? обозначается J?+~; здесь показатели + и — указывают, что замена ковариантна по первому бимодулю А и контра-вариантна по С. Опускание С и у дает категорию J?+. Мы также используем категорию где кольцо К = К' фиксировано и х= 1.
Комплекс А ®Л-л В (Л, Л) из (4.2), а поэтому и (А, Л), является ковариантным функтором из JF+; в частности, отсюда следует предыдущий результат о ковариантности функтора Нп(А, А) по Л при фиксированных Л и К. Аналогично функтор #п (Л, С) контравариантен в категории JF-. Действие замены ? (с пропущенным а) на нормализованную коцепь/для Л' вида (3.2) определяется формулой (?*/) (Яь . . ., Яп) = yf (рЯь . . ., рЯ^).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что изоморфизм (1.1) естествен над категорией
2. Пусть е : Л -*¦ К есть пополненная алгебра. Для правого К-модуля М и К-модуля G доказать, что
Нп (Л, eM)=tfn(M ®ЛВ(Л)),
Нп (Л, eGe)=iHn (G® В (Л)).
§ 5. Гомология групп и моноидов
Когомология группы П изучалась в гл. IV, где использовался функтор Нотп Для Z (П)-модулей. Теперь, когда у нас имеется тензорное умножение ®п = ®z(m> мы можем определить и изучить гомологию группы П. Столь же легко сделать это для моноида М, хотя дополнительная общность не имеет в данном случае большого значения.
Моноид — это множество М с отмеченным элементом 1 = 1 м и функцией, сопоставляющей каждой паре х, у 6 М «произведение» ху ? М таким способом, что для всех х, у и z справедливо (ху) z = = х (yz) и 1х — х — х\. Моноидное кольцо Z (М), подобно групповому кольцу, состоит из всех конечных сумм 2 kiXu где kt ? Z, xt в М, с очевидным умножением и с пополняющим кольцевым гомоморфизмом е : Z (М) -*-Z, определенным посредством формулы е (2 kiXi) — 2 Это кольцо Z (М) может рассматриваться как свободное кольцо, порожденное моноидом М, в смысле предложения IV. 1.1. Под левым М-модулем мы будем понимать левый Z (М)-модуль и будем писать вместо ®zcm). Если М — свободный коммутативный моноид с п образующими, то Z (М) есть кольцо многочленов от п неизвестных.
§ 5. Гомология групп и моноидов
371
Гомология моноида М с коэффициентами в правом модуле GM определяется теперь с помощью левой Б-резольвенты В (Z (М)) следующим образом:
Нп (М, G) = Нп (С ®МВ (Z (Af))), п = 0, 1... (5.1)
Поскольку В (Z (М)) есть Z-расщепляющаяся проективная резольвента левого М-модуля Z = &Z, мы можем записать это определение в терминах относительного периодического умножения:
Нп (М, G) — Tor^f(М)’Z) (G, Z) &, Tor^(M) (G, Z). (5.2)
В частности, Н0 (М, G) = G 0mZ. Мы оставляем читателю описание когомологии моноида.
Для свободного модуля высшие периодические произведения тривиальны, поэтому имеем
Предложение 5.1. Для группы П и свободного П.-модуля F Н0 (П, F)^F <8>пZ, Нп (П, F) = 0, п > 0.
Заметим, что если F — свободный П-модуль с образующими {t}, то F <8>nZ — свободная абелева группа с образующими {t ® 1}.
Коммутант [П, П]—это подгруппа группы П, порожденная всеми коммутаторами хух^у-1, х, у ? П. Коммутант является нормальным делителем П; факторгруппа П/[П, П] абелева, а ядро любого гомоморфизма группы П в произвольную абелеву группу содержит коммутант [П, П].
Предложение 5.2. Для группы П и тривиального П-модуля Z
Н0 (П, Z) ez Z, Нх (П, Z) & П/[П, П]. (5.3)
Доказательство. Группы гомологий модуля Z — это группы гомологий комплекса Z ®п5 (Z (П)), который является редуцированной 5-резольвентой В (Z (П)) из § 2, причем §*0 = Z, Bi и Вг — свободные абелевы группы с образующими [х] и [х\у\у хф1ф.у соответственно и с граничным гомоморфизмом д [х\ = = 0, д \x\y\ — [у]— \ху]+ 1х]. Отсюда H0~Z, а каждый Ы есть цикл. По формуле взятия границы имеет место соотношение cls U|#l= = cls [х] + cls [у). Значит, отображение ц>х = cls 1х] определяет гомоморфизм ф : П/[П,П] -*-Нt (n,Z). Поскольку Вх — свободная абелева группа, отображение \х\ [П, П] продолжается
до гомоморфизма П/[П, П], который аннулирует все гра-
ницы. Поэтому можно определить гомоморфизм, обратный ф, положив ф-1 cls [х] = х [П, П], так что ф — изоморфизм, что и требовалось для доказательства второго соотношения (5.3).
24*
372
Гл. X. Когомология алгебраических систем
Гомология группы (или моноида) является специальным случаем гомологии. Хохшильда ее группового кольца.
