Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 3.4. Для левого модуля D над пополненной алгеброй (А, е) когомологию Хохшильда бимодуля De можно вычислить с помощью левой В-резольвенты, используя етественный изоморфизм
Нп (A, De) э* Нп (Нотл (В (A), D)). (3.9)
Доказательство. Канонический изоморфизм Нот (К, D)^D левых A-модулей является также изоморфизмом А-бимодулей Нот (еК, D) g^De. Поэтому для любого бимодуля В сопряженная ассоциативность устанавливает естественный изоморфизм
Нотл (В ®л (еК), D) ^ Нотл_л (В,гНот (еК, D)) ^ Нотл_л (В, De).
Если В — двусторонняя 5-резольвента, то В ®Л (8К) — левая S-резольвента; отсюда вытекает требуемый результат (3.9).
Замечание. Предположим, что К-алгебра Л проективиа как К-модуль. Тогда и Ап будет К-проективна (следствие V.3.3); следовательно, Рп (Л, Л) — проективный Л-бимодуль (предложение VI.8.1). Значит,
368
Гл. X. Когомология алгебраических систем
в: Р (Л, Л) Л есть проективная бимодульиая резольвента алгебры А. В этом случае модуль Нп из (3.1) определяется как «абсолютный» функтор Ext:
Нп (Л, A) =s Ext”_A (Л, А) (если Л К-проективна).
Если вместо {? использовать В, то этот же результат справедлив для алгебры. Л/К, если она проективна как К-модуль, Картан и Эйленберг определяют когомологию Хохшильда с помощью абсолютного функтора Ext во всех случаях, так что их определение не всегда совпадает с нашим.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что АА есть Л-подбимодуль бимодуля А, если алгебра Л коммутативна.
2. Построить «сумму Бэра» для расширений бимодуля А' с помощью алгебры Л таким образом, чтобы соответствие, указанное в теореме 3.1, было изоморфизмом абелевых групп.
3. Показать, что Н1 (Л, А) есть группа классов конгруэнтности тех бимодульных расширений А >-» В -» Л, которые К-расщепляются.
4. Показать в явном виде, что каждая короткая точная последовательность А >-» В -» Л бимодулей, которая К-расщепляется, расщепляется также как последовательность правых Л-модулей.
5. Если Л — пополненная алгебра и М есть К-модуль, то когомологию модуля М, превращенного в бимодуль отступлением, можно вычислить с помощью редуцированной В-резольвеиты, используя изоморфизм Нп (Л,ЕМе) s Нп (Нот (3 (А), М)).
§ 4. Гомология алгебры
Для двух Л-бимодулей А и В имеется «бимодульное» тензорное произведение А ® л-лВ оно получается из тензорного произведения А (&кВ путем отождествлений
ak ® b — а ® kb, ka® b = a® bk
[внутренняя ассоциативность и внешняя ассоциативность, как и в VI(5.10) ]. Канонический изоморфизм А ?5лЛ ~ А имеет аналог для бимодулей. Действительно, если А — бимодуль, а М есть К-мо-дуль, то естественный изоморфизм
0:Л®л.л(Л®М® Л)^Л®М, ® = ®к, (4.1)
можно определить формулой 0 [а ® (Я ® т <g) V) ] = k'ak ® т, так как правая часть этой формулы К-полилинейна и удовлетворяет требованиям внешней и внутренней ассоциативности. Обратное отображение задается формулой 0-1 (а ® т) = а ® (1 ® т <g) 1).
Модули гомологий Хохшильда К-алгебры Л с коэффициентами в Л-бимодуле А определяются с помощью В-резольвенты как К-мо-дули
Нп(А, А) = Нп(А®Л.ЛВ(А, А)), п — 0, 1........ (4.2)
§ 4. Гомология алгебры___________________________369
Как и для когомологий, это есть случай (1.4) относительного периодического функтора, так как последовательности Л-бимодулей должны расщепляться как последовательности правых А-модулей или как последовательности К-модулей.
В определении (4.2) мы можем заменить В ненормализованной 5-резольвентой (3 (А, А), где |Jn (А, А) = А 0 А™ 0 А. По (4.1)
Л 0л-лРп (Л., А) ^ А 0 А™. Следовательно, Нп (А,Л) есть п-й
модуль гомологий комплекса К-модулей А 0 Лп с граничным гомоморфизмом д — d0 — di + . . . + (—1 )ndn, где di — «симплици-альные» граничные операторы:
di(a0Xt0 ... 0 %п) =
!аХ\ 0 Х% 0 ••• ® Хп > t — 0,
а 0 Я10 ... 0 Я;A,j+i 0 ... 0 Яд, О <С i п, (4.3)
Хп& 0 0 ... 0 Xn—ii i==
в последнем члене Xn появляется вначале благодаря «внешней» ассоциативности. В частности, д (а 0 X) = аХ — Ха, так что Н0 — это фактормодуль модуля А по К-подмодулю, порожденному всеми разностями Ха — аХ
Н0 (A, A) s А!{Ха — аХ | X ? А, а?А}. (4.4)
Подобно теореме 3.3, справедлива
Теорема 4.1. Для фиксированной К-алгебры А каждый Нп (А, А) — ковариантный функтор из категории А-бимоду-лей А в категорию К-модулей, причем Н0 определяется формулой (4.4) и
Нп(А, А 0 L 0Л) = О,л>О, L есть К-модуль.
Если Е : А >-» В С есть К-расщепляющаяся короткая точная последовательность бимодулей, то существует для каждого п > О «связывающий» гомоморфизм Еп : Нп (А, С) Нп_j (A, Н), естест-
венный по аргументу Е, такой, что длинная последовательность
... -> Нп+1 (Л, С) Нп (Л, А) -> Нп (Л, В) -> Нп (А, С) -> ...
является точной. Эти свойства характеризуют Нп и Еп с точностью до естественного изоморфизма.
