Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
и(Х)а = Ха, аи(Х) = аХ, (3.6)
где а в А, X ? А произвольны. Поскольку и есть К-модульный гомоморфизм,
и(kyXyk2X2)= и (Ху)-f-k2u (Я2), ki?K. (3.7)
Для системы факторов из (3.5) правило (3.6) дает
[и (Ху) и (Х2)] и (Я3) = f (Ху, Яг) Я3-(- / (XtX2, Я3) -f - и (Я^ЯгЯз), и (Ху) [и (Яг) и (Я3)] = Xyf (Х2, Я3) f (Я1, Я2Яз) -(- и (Я1Я2Я3).
Так как умножение в Г ассоциативно, то
Xyf (Я2, Я3) — f (ХуХ2, Я3) + f (Я1, Я2Я3) — f (Я1, Я2) Я3 = 0. (3.8)
Это есть в точности условие 6f = 0, означающее, что система факторов является двумерным коциклом; более того, из равенства и (1) = = 1 следует, что функция f нормализована. Замена представителей и представителями и’, ы' (Я) = g (Я) + и (Я), где g : А -*¦ А есть некоторая К-линейная функция с нормализационным условием g (1) = 0, приводит к новой (нормализованной) системе факторов / + bg. Значит, расширение однозначно определяет когомологический класс функции /.
Любой элемент алгебры Г можно единственным образом записать в виде а + и (Я). Здесь К-модульная структура в Г, сумма и произведение двух таких элементов определяются равенствами (3.5) — (3.7). Для данных Л, Л и некоторого двумерного коцикла f с помощью этих равенств строится расширение Г: в частности, условие б/ = 0 достаточно для того, чтобы сделать умножение ассоци-
366
Гл. X. Когомология алгебраических систем
ативным. Если / = О, то это построение приводит к полупрямой сумме, чем доказательство и завершается.
Двусторонний идеал J называется нильпотентным, если Jn = = 0 для некоторого п.
Т е о рема 3.2. (Уайтхед—Хохшильд.) Если К— поле и если для К-алгебры А выполняется равенство Я2 (Л, А) = 0 для каждого А-бимодуля А, то любое расширение алгебры А с нильпотентным ядром является рассеченным.
Пусть /" = О для ядра J расширения ст: Г Л. Доказательство проведем индукцией по п. Если п = 2, то расширение сингулярно и К-расщепляемо; поскольку Я2 (Л, J) = 0, расширение рассечено по теореме 3.1.
Предположим, что результат верен для ядер экспоненты п — 1, и возьмем расширение ст с ядром J Ф О, Jn — 0. Тогда Р строго содержится в J, поскольку из Р = J следует Jn = J ф 0. Для факторалгебры Г/J2 построим коммутативную диаграмму (указана слева)
J—>Г—>Л T'-UV
1* || 1р
J/P -> Т/J2 it А, фЛ с Т/Р.
ф
Ядром проекции р является Р, а ядром ст' — J IP, и, следовательно, ст' есть сингулярное расширение Л. В силу рассмотренного уже случая п = 2, ст' рассекается некоторым ф. Теперь р-1 (фЛ)= = Г' есть подалгебра алгебры Г и р индуцирует гомоморфизм р': Г' -э» фЛ ^ Лс ядром Р. Поскольку (J2)”-1 czJn — 0, из индуктивного предположения вытекает, что р' рассекается некоторым отображением ф', и поэтому ст рассекается отображением 1ф'ф.
В этом результате содержится основная теорема Веддербарна для алгебры Г конечной размерности (как векторного пространства) над полем. Каждая такая алгебра имеет такой двусторонний ниль-потентный идеал R, называемый радикалом, что факторалгебра Т/R полупроста. Теорема Веддербарна утверждает, что если алгебра Т/R сепарабельна, то расширение T-^-T/R рассечено. Это следует из теоремы 3.2, так как из сепарабельности алгебры Т/R следует (теорема VI 1.5.6), что bidim T/R = 0, следовательно, bidim Г/^<1 и Я2 (Т/R, А) = 0 для всех (Г/#)-бимодулей А. Поэтому расширение Г-»- TIR рассечено.
Замечание. Для алгебр конечной размерности над полем теорема 3.2 верна также и без предположения о нильпотентности ядра (Хохшильд [1945], предложение 6.1); (Розенберг — Зелинский [1956]). Проблема препятствий для построения несингулярных К-расщепляющихся расшире-
§ 3. Когомология алгебры
367
ний с данным ядром приводит (Хохшильд [1947]) к интерпретации модулей Я3 (Л, А), параллельной интерпретации для случая групп (IV.8). Для расширений, которые не К-расщепляются, требуется вторая, аддитивная, система факторов вместо линейности и в (3.7); мы вернемся к этому вопросу в § 13.
Группы когомологий фиксированной К-алгебры Л, как показывает следующая теорема, характеризуются аксиомами, подобными аксиомам для функтора Ext.
Теорема 3.3. Для каждого п> О, Нп (Л, А) есть ковариантный функтор из категории А-бимодулей А в категорию К-модулей. Модуль Н° определяется формулой (3.3), Нп (Л, А) — 0, если п > О и А — бимодуль вида А — Нотк (Л, М), где М есть К-модуль. Для каждой К-расщепляющейся короткой точной последовательности Е: А >-* В -» С бимодулей и для каждого п > 0 существует связывающий гомоморфизм Ет : Нп (Л, С) -*¦ #n+1 (Л, А), естественный по аргументу Е, такой, что длинная последовательность
----->Нп(А, А)->Нп(А, В)->Нп(А, С)^ЯП+1(Л, А)-* •••
точна. Эти свойства определяют модули На и связывающие гомоморфизмы ?* с точностью до естественных изоморфизмов Нп.
Доказательство оставляется читателю; заметим, что Нотк (Л, М) —«относительно инъективный» бимодуль.
Если е : А -> К — пополненная алгебра, то каждый левый Л-мо-дуль D становится А-бимодулем De, если правую модульную структуру в D задать отступлением вдоль е.
