Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 15

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 227 >> Следующая

(iii) функцией, сопоставляющей каждому объекту А элемент 1А 6 hom (А, А).
При этом должны быть выполнены две аксиомы: аксиома ассоциативности-, если а 6 hom (А, В), р 6 hom (В, С) и у 6 hom (С, D), то у (Ра) = (уР) а;
аксиома единиц: если а 6 hom (А, В), то а\А — а = \&х. Если а 6 hom (Л, В), то будем писать а : А В и называть а морфизмом категории % с областью определения А и областью значений В. Ввиду (п) произведение Ра определено тогда и только тогда, когда область значений морфизма а совпадает с областью определения морфизма Р; произведение трех сомножителей у Ра ассоциативно, если оно определено. Назовем морфизм х единицей
§ 7. Категории
41
категории 43, если ха = а всякий раз, как произведение ха определено, и |3х = р всякий раз, как определено произведение |3х. Каждый морфизм 1д является единицей. Обратно, если х единица, то х: A А для некоторого объекта А и х = х1д = 1Л, т. е. каждая единица из 43 имеет вид \А для однозначно определенного' объекта А. Другими словами, единицы категории % определяют объекты этой категории. Можно описать категорию просто как класс морфизмов с частично определенным умножением, удовлетворяющим подходящим аксиомам (см. упражнение 3 в конце этого параграфа).
Морфизм 0: А -*• В называется эквивалентностью категории <ё, если существует такой морфизм ф : В А, что ф0 = 1А и 0ф = 1в. В этом случае ф однозначно определен: если ф'0 = 1А, то ф — 1дф = = ф'0ф = ф'1в — ф'. Назовем ф обратным, ф = 0-1, к эквивалентности 0.
Произведение двух эквивалентностей, если оно определено, также является эквивалентностью.
(Мультипликативная) группа G есть категория с одним объектом; G; можно считать, что horn (G, G) состоит из элементов группы G.
Если множество М замкнуто относительно ассоциативного умножения с единицей, то его также можно рассматривать как категорию с одним объектом и умножением, совпадающим с данным умножением.
Более типичным примером категории является категория RM (левых) модулей над данным кольцом R. Объекты этой категории — это все ^-модули А, В, С, . . ., множество hom (А, В) морфизмов— это множество HomR {А, В) всех ^-модульных гомоморфизмов из Л в В, в то время как умножение — это обычное умножение гомоморфизмов. Аксиомы ассоциативности и существования единиц выполнены очевидным образом. В этой категории использован класс всех ^-модулей. Мы не можем говорить о множестве всех ^-модулей, потому что это множество является незаконной совокупностью при обычных аксиомах теории множеств. Если же принять аксиоматику теории множеств Гёделя — Бернайса — фон Неймана (Гёдель [1940]), то в нашем распоряжении оказываются большие, чем множества, совокупности, называемые классами, и можно законно говорить о классе всех модулей или всех топологических пространств. Мы определили категорию как класс объектов, имея в виду эту интерпретацию. Назовем категорию малой, если класс ее объектов является множеством.
Чтобы привести другие примеры категорий, достаточно будет указывать объекты и морфизмы категорий; в большинстве случаев области определения и значений морфизмов, умножение и единицы будут иметь их обычный смысл. Мы приводим перечень тех примеров категорий, с которыми нам придется встретиться.
42
Гл. I. Модули, диаграммы и функторы
Категория топологических пространств. Объекты — все топологические пространства, морфизмы — все непрерывные отображения f : X Y одного пространства в другое.
Категория абелевых групп. Объекты — все абелевы группы; морфизмы — все гомоморфизмы абелевых групп друг в друга.
Категория групп. Объекты — все (не обязательно абелевы) группы; морфизмы — все гомоморфизмы групп.
Категория множеств. Объекты — все множества, морфизмы — все отображения одного множества в другое.
В следующих примерах под R понимается фиксированное кольцо.
Категория точных последовательностей /^-модулей длины п. ¦Объекты — все точные последовательности S : Л4 Л2
An_i Ап, морфизмы Г : S -> S" — все такие наборы Г = = (Vi. Y2. • • ч Yn) модульных гомоморфизмов уг :At-*-A'u что диаграмма
коммутативна. Если В = (Pi.........pn) : S’ -*• S", то произведе-
нием ВГ считается набор (PiVi, . . ., P„v„).
Так же может быть построена категория бесконечных вправо «ли бесконечных влево точных последовательностей или же последовательностей, бесконечных в обе стороны. Другим примером является категория коротких точных последовательностей Е : А >* >* В -»С, морфизмами которой считаются все тройки (а, р, у) модульных гомоморфизмов, делающие коммутативными диаграммы типа диаграммы (3.1). Теперь достаточно ясно, как много примеров может быть построено,— категория последовательностей точных последовательностей и т. д. до бесконечности.
Так же ясно, что многие понятия, применимые к модулям, могут быть применены к объектам любой категории — при условии, что определение этих понятий не использует элементов модулей, а относится к самим модулям и их гомоморфизмам. Так, в произвольной категории % диаграмма, состоящая из морфизмов at: At -> С из <ё, заданных для каждого t из некоторого множества Т, универсальна относительно данных объектов At (или является диаграммой прямой суммы для Л(), если для каждой диаграммы {a't: At С' 11 € Т} с теми же объектами At существует в % такой единственный морфизм р: С -*¦ С, что Pat = at для всех t 6 Т. (Для множества Т = {1,2} эта формулировка в точности совпадает со свойством, указанным для диаграммы (4.5).) Доказательство единственности, проведенное раньше для прямой суммы двух модулей, дословно повторяется для доказательства следующего предложения.
Предыдущая << 1 .. 9 10 11 12 13 14 < 15 > 16 17 18 19 20 21 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed