Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 149

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 227 >> Следующая

Yn ® ДС точна по лемме 8.4. Цепное преобразование ф отображает предыдущую точную последовательность комплексов на эту точную последовательность; следовательно, в силу естественности связывающего гомоморфизма последовательности комплексов получается сформулированный в теореме метод вычисления связывающих гомоморфизмов Еп.
Поскольку (R, 5)-проективный объект Р' обладает резольвентой 0 ->• Р' -*• Р' -*• 0, то эта теорема дает прямое доказательство
(8.8). Мы оставляем читателю проверку остальных свойств относительного периодического умножения: аддитивности по каждому аргументу, антикоммутативности Еп и Е’п-1 (Е’п-\Еп = — En-iE'n, как в теореме V.7.7) и аддитивности Еп в Е.
Относительное периодическое умножение можно рассматривать как функтор от пары колец R =э 5. Более подробно: рассмотрим объекты (R, 5; G, С, А), состоящие из колец R :э 5 и модулей Gr, rC, rA. Заменой колец (+ в G и С, — в Л) является четверка
где р : R есть кольцевой гомоморфизм, причем р (5) cz S', а
гомоморфизмы .R-модулей (отметим, что направления гомоморфизмов а и у противоположны). Эти объекты и морфизмы % вместе с ум-
ToriB'S)(G, С) = Hn(Y ® ДС),
(8.9)
?:G—>GP, у:С—>рС\ а:рА'—>А
23—353
354
Гл. IX. Относительная гомологическая алгеб-ра
ножением (р, ?, у, а) (р', у’, а’) = (рр', Ц’, уу', а’а) состав-
ляют категорию замены колец j?++-, если опустить Л и а, то получим «ковариантную» категорию замен колец М++. Каждый морфизм % индуцирует цепное преобразование
? ® р" ® у ¦ G ® дРп (R) ® дС —^> G' ® н'Р„ (R') ® н'С' и, значит, по определению (8.5) — отображение
X* : Torf'S) (G, С) -> Torf''s/) (G\ С'),
которое превращает относительное периодическое умножение Тог„ в ковариантный функтор из категории J?++ в категорию абелевых групп. Гомоморфизм х* можно вычислить также с помощью S-расщепляющихся относительно свободных резольвент г : У G, B'lY'-yG'] действительно, «отступление» превращает е': Ур
Gp в отображение комплексов ^-модулей с S-модульной расщепляющей гомотопией, так что по теореме сравнения (относительно проективные комплексы и расщепляющиеся резольвенты) гомоморфизм ? : G Gp накрывается цепным преобразованием ср : Y -*¦ Y'p. Индуцированное отображение групп гомологий, умноженное на отображение Y'p ®йрС' Y" ®B>C', определяет гомоморфизм х* как произведение отображения
Нп (Y ® л С) —^ (Ур ® ЯС') -> Я„ (У' ® н'С')
и изоморфизмов (8.9).
Мы пишем Ext™R,g) по аналогии с Torjf’s> для соответствующего относительного функтора ext. Так, по (6.3)
Extfc, S) (С, А) = Нп (Нотл (Р (R) ® яС, Л)) s Нп (Нотд_д (Р (R), Homz (С, Л))),
где изоморфизм справа есть сопряженная ассоциативность, а Homz (С, Л) есть jR-бимодуль. Этот функтор Ext является контра-вариантным функтором из категории замен колец ЗЯ+- (опустить G и ? в (8.10)). Если фиксировать R и положить р = 1, то получается обычное описание Ext(R, s> (С, Л) как бифунктора, контравариант-ного по С и ковариантного по А.
УПРАЖНЕНИЯ
Первые шесть упражнений взяты из работы Хохшильда [1956].
1. Каждый (R, 5)-проективный модуль Р является ^-прямым слагаемым некоторого модуля ^®g А.
2. Для каждого модуля SM модуль Homs (R, М) является (R, S)-относительно инъективным.
§ 9. Прямые произведения колец
355
3. Доказать, что имеется достаточно (R, 5)-инъективных объектов.
4. Если Р есть (R, 5)-проективный модуль, а а : А В такой гомоморфизм ^-модулей, что Horns (Р>А) Horns (Р> В)> то Нотд (Р,А) -*> -» Нотд (Р,В).
5. Для того же объекта Р и гомоморфизма а правых ^-модулей из мономорфизма А ® sP >-» В ® sP следует мономорфизм A Р >-» В ® дР.
6. Для S-расщепляющихся (./?,5)-проективных резольвент X -*¦ С и Y -*¦ G доказать, что Tor{,R* S) (G,C) es Нп (К ®д X).
7. Дать описание элементов Tor(R’ S) (G, А), аналогичное описанию элементов (ц, L, v), использованному в V.7.
8. Показать на примере, что Ext*R> S) Ф Ext^r
9. Показать, что Р (R) есть (ненормализованная) 5-резольвента для
резольвентной пары ,5?', где,# = R-бимодули, = S-Я-бимодули, F (М) =
= R <3)s Мне (т) = 1 ® т.
10. Для резольвентной пары ИЯ' из упражнения 9 показать, что E*tV(H. ^)eExtV (/?, Ноmz(C, /4)), Тог?* S)(G, С)=Тог„ (Я,С®Л G). Здесь С G—бимодуль с операторами г (с (g> g)=rc 0 g, (с (x)g) г = с ® gr.
§ 9. Прямые произведения колец
Прямое произведение R = R' х R" двух колец является кольцом с аддитивной группой @ jR " и умножением (г[, г[) (г’2, г") = = (/•'/•', г^)- [Это — в точности прямое произведение R" и R" как Z-алгебр (VII.5.1).] Каждый левый ^'-модуль А" превращается в R-модуль щА’ отступлением вдоль проекции щ : R" х R"-*- R”, и аналогично для ^"-модулей. В частности, R" и R" суть левые jR-модули, а поэлементное определение умножения в R показывает, что jR R* ®R” есть изоморфизм ^-модулей и, значит, R" и R" суть проективные jR-модули.
Лемма 9.1. Если Rf-модули С" и G* и R "-модуль А" рассматриваются как R — R" х R"-модули, то
Предыдущая << 1 .. 143 144 145 146 147 148 < 149 > 150 151 152 153 154 155 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed