Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Возьмем jR-модули GR и ЛС. Абсолютные периодические произведения Tor? (G, С) вычисляются с помощью проективной резольвенты в: X С как Нп (G ®л X). В нашем относительном случае (R) ®л С дает каноническую и функторную резольвенту, так что мы определяем п-е относительное периодическое произведение как
Torf’S) (G, С) = Яп (G ® лР (R) ® лС). (8.5)
Этим задается ковариантный бифунктор от аргументов G и С, на самом деле симметричный по G и С. Поскольку G ®B R = G и R ®л С — С, группа n-мерных цепей комплекса G ®в Р (R) ®л С равна G ®s Rn ®s С. Граничная формула получается из (8.1) заменой г0 на g ? G и rn+i на с 6 С; комплекс можно рассматривать как симплициальную абелеву группу.
Если Е : А >* В -» С есть S-расщепляющаяся короткая точная последовательность левых jR-модулей, то тензорные произведения (над S) ее членов с G ®s Rn образуют S-расщепляющуюся и, значит, точную последовательность. Поэтому мы получаем точную последовательность комплексов
G 0 вР (R) ® rA >* G ® яр (R) ® л В -» G ® л0 (R) ® RC.
Результирующие связывающие гомоморфизмы
Еп : Torf’S) (G, С) -> Torfj^ (G, A), n > 0,
естественны по О и ? и обеспечивают точность соответствующей длинной последовательности
-----> Torf’ S) (G, А) Torf’ S) (G, В) ->
Torf’S) (G, С) -5- TorfliS) (G, Л) —> • • ¦ (8.6)
точно так же, как и для абсолютного периодического произведения, с тем изменением, что последовательность Е должна быть S-расщепляющейся. Если E'\G>*K-*>L является S-расщепляющейся короткой точной последовательностью правых jR-модулей, то, повторяя те же рассуждения (с перестановкой слов «левый» и «правый»), получим естественные связывающие гомоморфизмы
Еп : Torf’S) (L, С) Torf:®* (G, С), n > 0,
и соответствующую длинную точную последовательность для первого аргумента.
352
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Т еорема 8.3. Для колец R d S и модулей GR, RC, Tor^R’ S\G, С) — ковариантный бифунктор аргументов G и С для каждого п, причем
Тог(оВ’S) (G, С) ?* G ® ДС (естественный изоморфизм), (8.7)
Тог?* 8) (Р\ С) = 0 = Тог?’ S) (G, Р), п > 0, (8.8)
если Р' и Р суть (R, 8)-проективные правый и левый модули соответственно. Если Е' и Е являются S-расщепляющимися короткими точными последовательностями правых и левых R-модулей соответственно, то соответствующие связывающие гомоморфизмы естественны и порождают длинную точную последовательность (8.6) и симметричную ей.
В частности, эта теорема приводит к характеристике относительных периодических умножений как функторов второго аргумента с помощью свойств (8.7), (8.8) и (8.6), в точности так же, как и в теореме V.8.5; для этой цели мы можем заменить в (8.8) (R, S)-проективные модули (R, 5)-свободными модулями.
Мы должны доказать только (8.7) и (8.8). Прежде всего последовательность - Pi (jR) —ро (R) ~*-R ->-0 точна: поскольку тензорное умножение переводит точные справа последовательности в точные справа последовательности, то точна последовательность
G ® hPi (R) ® rC —> G ® нРо (R) ® дС —> G ® rR ® нС —> 0.
Ее последний член есть G С, что и доказывает (8.7). Для доказательства (8.8) используем следующую лемму:
Лемма 8.4. Для колец R S, если Р есть (R, S)-npoeKmue-ный правый R-модуль и Е: А >+ В -» С есть S-расщепляющаяся точная последовательность левых R-модулей, то последовательность
0 -*~Р ®л А —*~Р <8)д В ->Р ®R С -v 0 является точной последовательностью абелевых групп.
Доказательство. Поскольку имеется достаточно много относительно свободных правых модулей М ®s R, каждый модуль Р является S-расщепляющимся фактормодулем и, значит, jR-прямым слагаемым некоторого модуля М ®s R. Следовательно, достаточно доказать лемму для модулей вида Р = М ®s R-В этом случае Р ®д А = M®sR ®д А = М ®s А, так что рассматриваемая последовательность изоморфна последовательности М А -+М ®s В -+-М С, которая S-расщепляется в силу расщепляемости Е и поэтому является точной.
Теперь докажем (8.8). Комплекс Р (R) ®д С над С имеет левую 5-модульную стягивающую гомотопию s типа (8.2). Следовательно,
§ 8'. Относительные периодические произведения
353
по нашей лемме комплекс Р' ® д (fJ {R) ®д С) точен над Р’ ®л С и имеет нулевые группы гомологий размерностей п > 0.
Относительные периодические произведения могут вычисляться также с помощью других резольвент.
Теорема 8.5. Если е: Y G есть S-расщепляющаяся резольвента правого R-модуля G, состоящая из (R,S)-проективных модулей Yn, то существует канонический изоморфизм
естественный по аргументу С. Если Е — произвольная S-расщепляющаяся короткая точная последовательность левых R-модулей, то связывающие гомоморфизмы Еп из (8.6) переходят при изоморфизме (8.9) в связывающие гомоморфизмы групп гомологий точной последовательности комплексов Y ®д А >* Y ® д В -» Y ®д С. По симметрии Тог„ можно вычислить с помощью S-расщепляющейся, (R, S)-проективной резольвенты левого R-модуля С.
Доказательство. В силу теоремы сравнения для относительного случая существует единственное с точностью до гомо-топии цепное преобразование <р : G ®д 0 (R) V, которое индуцирует изоморфизм (8.9). Поскольку (R, 5)-проективен каждый модуль Yn, то каждая последовательность Yn ® д А >-> Yn ® д В -»
