Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
произведению ans : {2FM -—¦* ПЛ, являющемуся морфизмом категории оМ. Очевидно, что e*s*a = oqs: е = ctgO = 0. Если 0 = oqs = acfi'p, то a^je' = 0, так как р — эпиморфизм. Но 0 единственным способом «проходит» через е', так что а = 0. Пусть теперь для некоторого v : QFM —+ ПЛ будет e*v = 0; построим коммутативную диаграмму следующим образом:
М ---> ? FM FM-е-> ? FFM
\ V !и |ап
\у ^ у 1—1
. ал = пл= пл.
Поскольку ve = 0 и р = сокег ем, то у проходит через р : v =
— up. По определению морфизма е’, и можно представить в виде и = аде' для некоторого а. Поэтому v = аае'р = oqs, что и доказывает точность последовательности.
Каждый объект С из fr порождает последовательность объектов Мп = f" ? С6 М. Здесь В-резольвента состоит из ассоциированных относительно свободных объектов
Вп{С) = Вп{М, C) = FFnnC, п = 0,1,2,..., (7.3)
категории fr. Определим морфизмы между соответствующими образами этих объектов в категории <М:
? С -> ? ВаС ? BiC Л ? В2С ..., (7 4)
§ 7. Категорная В-резольвента-
347
положив s-1 = е (ПС) и
Sn = S (Мп): ? FMn -*> ? FFMn = ? Bn+iC. (7.5)
Из этих определений немедленно вытекает, что s* = 0.
Теорема 7.2. Существуют однозначно определенные морфизмы
е:В0(С)->С, дп‘.Вп(С)-> Bn-i(C), п=\, 2,
категории которые превращают В (М, С) = {Вп (Я, С)} в &-комплекс и относительно свободную допустимую резольвенту объекта С со стягивающей гомотопией s, квадрат которой равен нулю. Эта резольвента вместе с ее стягивающей гомотопией является ковариантным функтором аргумента С.
Доказательство. Нам требуется вставить в следующую схему
е 01 02 08
с ^ в0с _t; ВуС ^в2с±;--- (7.6)
8-1 SO Si 8а
такие морфизмы (категории #), указанные сплошными стрелками чтобы выполнялись условия
es-i = 1, diS0=l~s-ie, [d„+1s„ = l— sn-idn, п> 0 (7.7)
для стягивающей гомотопии. Морфизм 1 : С ->С можно представить в виде 1 = es-j, где s_i = вдс, откуда появляется е. Морфизмы дп теперь строятся рекурсивно. Если уже известны морфизмы ди . . ., дп, удовлетворяющие (7.7), то
(1 Sn-idn) sn-1— sn_i Sn—i (1 sn~ 2З71—1) = 0 -f- Sn-iSn-zdn-i — 0;
поскольку Sn-1 — ер и p — эпиморфизмы, (1 — Sn-idn)e = 0. По лемме 7.1 морфизм 1 — Sn-idn разлагается в произведение (1 — Sn-i^n) = aSnl это равенство определяет морфизм dn+t = a, удовлетворяющий условиям (7.7). В силу той же леммы 7.1 эти морфизмы е и дп однозначно определены. Более того, из (7.7) следует, что
dndn+iSn= дп dnSn—idn — дп дп sn-2,dn—idn ~ sn-2,dn-idn,
индукция, основанная на лемме 7.1, показывает, что edt = 0 и да = 0. Значит, В (М, С) — комплекс над С, чем и заканчивается доказательство.
Мы назовем В-резольвентой объекта С комплекс В [М, С). По теореме сравнения она цепно эквивалентна построенной ранее «ненормализованной» В-резольвенте р (М, С) (см. упражнение 3).
348
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
Чтобы показать, что это описание В-резольвенты согласуется с предшествующим описанием для группы П, возьмем в качестве & категорию левых П-модулей, в качестве <М — категорию абелевых групп и положим F (М) = Z (П) ® М и ем (т) = 1 ® т для каждого m ? М. Этим определяется резольвентная пара категорий. Так как последовательность свободных абелевых групп Z Z (П) -» Z (II)/Z точна, то точна и последовательность их тензорных произведений с М:
О -> М = Z ® М -» F (М) = Z (П) ® М —> [Z (n)/Z] ® М 0.
Следовательно, F (М) э* [Z (П)/Z] ® М. Возьмем в качестве С тривиальный П-модуль Z. Тогда
FnZ = [Z (n)/Z] ®® [Z (n)/ZJ, п множителей.
Но Z (Щ/Z есть свободная абелева группа, образующими которой служат все элементы х ф 1 группы П. Значит, Fn (Z) можно отождествить со свободной абелевой группой, порожденной всеми символами [xi | . . . | хп], где ни один элемент xt из П не равен 1. Тогда Вп (М, Z) = Z (П) ® Fn (Z) есть свободная абелева группа с образующими х lxt \ ... \ Хп\, где х 6 П, а морфизм s = = ер : Вп —-¦* Вп+и определенный выше, превращается в отображение
... |*„]) = [*|*i|
причем элемент [х | xt \ , . . \ хп ] равен нулю при х = 1. Это отображение в точности совпадает со стягивающей гомотопией s, использованной для Б-резольвенты В (Z (П)) в (IV.5.2). Граничные морфизмы однозначно определяются гомотопией s (как в гл. IV, так и здесь) и поэтому должны совпадать. Короче говоря, мы доказали, что для этой резольвентной пары категорий
В (М, Z) = B(Z(n)).
В следующей главе будут указаны точные формулы для других случаев.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что длинная последовательность (7.4) точна в <М.
2. Показать, что каноническое сравнение р (01, С) -*¦ В (51, С) является эпиморфизмом.
3. Показать, что в случае групп Р есть ненормализованная В-резольвента.
В следующих трех упражнениях рассматривается относительный функтор ext для колец Z (П) и Z.
