Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 145

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 227 >> Следующая

dndn+iSn = дп — dnSn-idn — дп — (1 ¦ sn-zdn-i)дп — Snsfin—i<?n>
344
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
так что, используя единственность разложения и проводя индукцию, имеем ед = 0 и д2 — 0. Более того, d„+1s„d„+i = dn+i, так что морфизм dn+i допустим.
Эта резольвента р (М, С), очевидно, имеет функторный характер; она называется (ненормализованной) В-резольвентой. Конкретные примеры даны в § 8.
«Относительный» бифунктор ext можно теперь определить формулой
Ext^ (С, А) = Нп (homм (р (Я, С), А)). (6.3)
Теорема сравнения показывает, что мы с тем же правом могли использовать любую ?-расщепляющуюся относительно проективную резольвенту s:X-*-C для вычисления Ext^ = Extg, как показывает изоморфизм
Extпт (С, A) gs Нп (homM (X, А)); (6.4)
отметим, что в каждой размерности п символ hom(Хп, А) обозначает группу всех морфизмов ? : Хп А 6 а не только допустимых морфизмов. В частности, Ext^ (С, А) = hom ^ (С, А). Замещение С короткой точной последовательностью Е приводит к обычной длинной точной последовательности для Ext", указанной в теореме III.9.1, при условии, что последовательность Е
? -расщепляется. Аналогичный результат получается, если А заменить ? -расщепляющейся короткой точной последовательностью; в доказательстве используется или точная последовательность резольвент (упражнение III.9.1), или предположение о существовании достаточного количества инъективных объектов. Эти длинные точные последовательности сохраняют смысл в любой относительной абелевой категории без предположения о существовании достаточного числа проективных или инъективных объектов. Доказательство, данное в гл. XII, основано на интерпретации ExtQ (С, А) как классов конгруэнтности п-кратных,
? -расщепляющихся точных последовательностей из Л в С. В частности, Extg в отличие от Ext^ зависит от ?.
Замечание о сопряженных функторах. Если <jg и М—категории, то функтор Т: % М называется правим сопряженным функтора S: М -*¦ если существует естественная эквивалентность
hom(А, Т (С)) s hom^, (S (А), С).
Здесь оба выражения являются бифункторами, определенными в М и % н принимающими значения в категории множеств (или, если категории % и М аддитивны, в категории абелевых групп). Например, сопряженная ассо-
§ 7. Катеаорная В-резольвента
345
циативность
Нот (А 0 В, С) s Нот (А, Нот (В, С))
утверждает, что при фиксированном В функтор Т (С) = Нот (В, С) является правым сопряженным для S (Л) = А0 В. Имеется ряд других.примеров (Кан [1958]).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что если относительная абелева категория ? является резольвентной парой категорий для двух функторов F в F', то существует единственный естественный изоморфизм г] : F F', для которого г\е = е .
2. Построить резольвентные пары категорий в следующих случаях:
a) R ZD S — градуированные кольца; М и <М определены выше;
b) р : R' -*¦ R является произвольным кольцевым гомоморфизмом; левые ^-модули, а$=левые -модули, = РЛ есть превращение ^-модуля А в ^'-модуль путем отступления вдоль р;
c) Л, 2 —две К-алгебры, М = Л-2-бимодули, <М = К-модули.
3. Показать, что в случае Ь) упражнения 2 допустимые точные последовательности и относительный функтор Ext совпадают с функтором Ext для резольвентной пары = (R, S), где S = рR'.
§ 7. Категорная В-резольвента
Нормализованная В-резольвента е : В (Z (П)) —> Z для группового кольца Z (П), как показано в гл. IV, дает стандартную Z-расщепляющуюся резольвенту тривиального П-модуля Z. Для каждого П-модуля А когомология А определяется с помощью В-резольвенты как Нп (Нотп (В (Z (П)), А)). Следовательно,
Нп (П, А) с*Extz(n) (Z, А) ^ Ext"z(n), z> (Z, А).
Другими словами, когомология группы дает одновременно пример абсолютного и относительного функторов Ext. Та же самая (нормализованная) резольвента будет использована в следующей главе во многих других случаях. Она может быть определена для любой резольвентной пары
М; eM:M->aFM
категорий. Для каждого объекта М ? <М выберем морфизм рм € coker ем и объект F (М) = Coker ем. Тогда последовательность
M-™nFMP-M>FM~>0 (7.1)
точна в М, F: М -*-аМ является ковариантным функтором, а р : dF F — естественным преобразованием. Применив функ-
346
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
тор ЩТ7 к FM, построим диаграмму
М —> ? FM ТМ О
(7.2)
? FFM;
произведение sM = е'р есть естественное преобразование [JF----->
---> ? FF. Характеристическое свойство этого преобразования дается следующей леммой:
Лемма 7.1. Морфизмы е = ем и s = sM индуцируют для каждого объекта А точную слева последовательность абелевых групп
0-»horn%(FFM, A)^homcM{UFM, ЩЛ) Д- hom^(М, (ЦЛ).
Доказательство. Каждый морфизм a: FFM -*-А из
fr определяет морфизм oq : QFFM--------> ЩЛ, и s*а равняется
Предыдущая << 1 .. 139 140 141 142 143 144 < 145 > 146 147 148 149 150 151 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed