Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Например, два кольца R zd S порождают резольвентную пару, обозначаемую М (R, S) или просто (R, S): в качестве & и аМ берутся категории R- и S-модулей соответственно, ? — обычный «пренебрегающий» функтор и
F (М) = R®SM, eM(tn) = \®m?F(М).
Аналогично для любой К-алгебры А существует резольвентная пара с категорией левых A-модулей в качестве & и категорией К-модулей в качестве М, F (М) = А ® кМ (предложение VI.8.2). Другие примеры резольвентных пар указаны в упражнении 2.
Теорема 6.1. В резольвентной паре категорий каждый объект F (М) относительно проективен в &. Для каждого объекта А разложение 1А = определяет ?-допустимый эпиморфизм а : F (Ад) -*~А. Следовательно, существует достаточно много относительных проективных объектов.
Доказательство того что объект F (М) относительно проективен, состоит в повторении знакомого доказательства (лемма 1.5.4) проективности каждого свободного модуля.
Действительно, пусть 7 : F (М) —> С является морфизмом, а а: В С допустимым эпиморфизмом из так что сга имеет
342
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
правый обратный k. Построим схему
M--m>FM
ky'6eM = kyeM I o jv, oDk = l.
BT-ZtC
k
Произведение kyем по условию однозначно представимо в виде kyeM = fieM для некоторого |J: FM -»-В из &. Следовательно, = У^м, но морфизм уем однозначно представим в виде произведения с правым множителем ем, поэтому стР = -р. Это означает, что объект FM относительно проективен.
Обычная теорема сравнения отображает проективный комплекс в резольвенту. Сравнение относительно свободного комплекса с допустимой резольвентой может быть проведено каноническим способом. Относительно свободный комплекс гх '¦ X -+¦ А над А в категории & — это комплекс, у которого каждый объект Хп имеет вид F (Мп) для некоторого М„ из <М\ мы будем писать еп
вместо еМп : Мп------»¦ Хп. Допустимая резольвента гТ : Y В
имеет ®#-стягивающую гомотопию s, причем s2 = О, как показано в следствии 5.3 (в частности, s_i : В —> Y0).
Теорема 6.2. Пусть гх : X А есть относительно свободный комплекс над А в & и '¦ Y В — допустимая резольвента. Каоюдый морфизм а : А В из & накрывается таким единственным цепным преобразованием Л-комплексов <р: X ->¦ Y,
что каждый морфизм ф„е„ : Мп---------> Yn «проходит» через s*_t.
Это преобразование ф определяется рекурсивными формулами
ф
ф0е0 = S-iaBxeо, (pn+isn+t — sn(pnden+t.
Мы назовем ф каноническим сравнением для данного представления Хп = F (Мп) и данной гомотопии s в Y. В случае когда М — категория модулей, условие, что каждый морфизм фпе„ «проходит» через Sn-t, можно переписать в виде
Ф0е»Мо cz s_iB, <pn+1en+iMnH сЛ. (6.1)
Это же мы будем записывать более коротко как феМ cz sY.
Доказательство. Построим морфизмы ф„: Х„ Yn, удовлетворяющие соотношениям еу ф0 = агх, дф„+1 = ф„д, и покажем их единственность индукций по п. Если ф0е0 проходит через s_i, то из s2 = 0 следует 50ф0е0 = 0 и
Фо<?0 ~ ^ Фо^о = (5s0 -f- s_jEy) ф0е0 = s_i8^0e0 = S-iae^eo.
В силу накрывающего свойства существует единственный такой морфизм ф0; этот морфизм удовлетворяет равенству еГф0 = аех-
§ 6. Относительные резольвенты
343
Пусть уже построены однозначно определенные морфизмы <p0, . • •
. . фЛ_1. Для каждого морфизма ф„е„, который «проходит» через
Sn-1, = 0; значит,
фпе„ = 1ф„еп = (ds + sd) ф„е„ = = зф^де*.
Это соотношение однозначно определяет фп, причем выполняется равенство дф„ = фп-10. Доказательство закончено.
Теперь каждый объект С из получает каноническую ? -расщепляющуюся резольвенту. Обозначим объект F ? С ? & как FC, и пусть F" обозначает п-кратную итерацию F; построим объекты
Pn(C) = Pn(M,C)=FnFC, п = 0,1,2...........
из Определим морфизмы s? J между соответствующими объектами
? С-:> ? рос¦% ? ptc? Р„С ? Р„+1С->..., (6.2)
положив S—j = е (ПС) и Sn = е (ПРдС).
Теорема 6.3. Существуют однозначно определенные морфизмы
г: ро (С)'—> С, а„ : р„ (С) -> р„_! (С), n = 1, 2.
из которые превращают Р (№, С) = {Р„ (Л, С)} в относительно свободную допустимую резольвенту объекта С со стягивающей гомотопией s из <М. Эта резольвента вместе со стягивающей гомотопией является ковариантным функтором аргумента С.
При этом мы не утверждаем, что s2 = 0. Обычно это не так.
Доказательство. Нашей задачей является построение морфизмов из указанных в следующей схеме
е di 02 03
С роС РiC Рг • • •
8-1 80 SI S2
сплошными стрелками и превращающих s в стягивающую гомо-топию. По свойству морфизма е , 1 с можно представить в виде 1с = вес', это равенство однозначно определяет г и показывает, что е — допустимый морфизм. Граничные морфизмы теперь определяются рекурсивно так, чтобы морфизмами s определялась стягивающая гомотопия; при известном е морфизм 1 — s_4e однозначно разлагается в произведение dis0 — 1 — s_ie для некоторого di : Pj -э~р0> и аналогично соотношение dn+ts„ = 1 —Sn-idn ¦ Рп —>Рп определяет дп+1 при заданном дп. Используя эти равенства, получаем
