Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 143

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 227 >> Следующая

§ 5. Относительные абелевы категории
339
как показано в схеме
k \ к X
Xn+i —> Dn <¦— Хп Л- Dn-i <r— Хп-1
a t a t
с обычными равенствами в а? для прямой суммы:
1хп = М + &сг, 1, ok= 1, tk = О, сгЯ, = 0.
Теперь определим морфизмы ^ : Хп —>Х„+1, положив sn = kt, так что s* = 0 и
3s + s5 = A,(o'^)f + ^(^)CT==W + ^cr== 1хп.
Комплекс е: X -»-С допустим, если е: Х0 -»-С и все дп: Хп —> допустимы, и является резольвентой, если е : Н0 (X) ^ С и Нп (X) = О при п > 0.
Следствие 5.3. Комплекс в : X ->• С ыз^й- ««3 С является
? -допустимой резольвентой С в том и только в том случае, когда комплекс ед : Xq — > Cq в <М над Сд имеет стягивающую гомотопию. Если это условие выполнено, то существует такая гомотопия s, что s2 = 0.
Как обычно, s состоит из морфизмов s_i : С Х0, sn : Хп ~> —> Xn+i из <з?, причем
es_i = 1 с» dso4-s_ie = /jc0, Эа + яЭ = 1*„, л > 0.
Условие sz = 0 означает, что SnSn-i = 0 для всех п = 0, 1 . . . . Доказательство очевидно.
Проективный ?-допустимый объект Р из & будет называться также относительно проективным объектом для
Любой проективный объект Р в А является a fortiori относительно проективньм, но это не означает, что имеется достаточно относительно проективных объектов: если мы представим объект как образ Р ->-А проективного объекта, то отсюда вовсе не следует, что Р->~А допустимый эпиморфизм.
УПРАЖНЕНИЯ
(Первые три упражнения касаются абсолютного случая М = еМ.)
1. Комплекс X абелевой категории М обладает стягивающей гомото-пией s тогда и только тогда, когда каждая последовательность (im dn+1, coim 3^): щ -*¦ Хп -*¦ ф дает представление объекта Хп в виде прямой суммы. Если эти условия выполнены, то существует такая гомотопия s, что s2 = 0.
2. Комплекс X модулей имеет стягивающую гомотопию тогда и только тогда, когда для каждого п модуль я-мерных циклов является прямым слагаемым Хп.
22*
340
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
3. Комплекс X (не обязательно положительный) свободных абелевых
групп обладает гомоморфизмами s : Хп -*¦ для которых ds + sd = 1,
тогда и только тогда, когда все группы Нп (X) тривиальны.
4. Вывести теорему 5.2 из результата упражнения 1.
§ 6. Относительные резольвенты
Для построения достаточного количества относительных проективных объектов мы выделяем специальный класс относительных абелевых категорий. Под резольвентной парой 31 категорий будем
понимать относительную абелеву категорию ? : & вместе
(i) с ковариантным функтором F : оМ,
(ii) с таким естественным преобразованием е : ->
где — тождественный функтор, что каждый морфизм и : М-------------*¦
----> Aq из оМ можно представить в виде и = апем для единственного морфизма а : F (М) Л из fr.
Таким образом, каждый объект М определяет объект FM ? & и морфизм ем ¦ М------> ?FAf, причем каждый морфизм и однозначно накрывается морфизмом FM----------> Л, как показано в схеме
FM------>А
У
ем / ;
/ U
М '
другими словами, FM есть «относительно свободный» объект в fr по отношению к данному объекту ^ из J. Накрывающее свойство означает, что формула е*а = аае определяет естественный изоморфизм
е* : homм (FM, Л) ^ hom^ (М, ? Л);
последнее свойство означает, что функтор F: S -*•& является левым сопряженным (Кан [1958]) к функтору ?: fr -+<М (см. замечание в конце параграфа).
Обратно, условия (i) и (ii) из определения резольвентной пары можно заменить требованием того, чтобы функтор ? обладал левым сопряженным F. Действительно, это требование означает, что существует естественный изоморфизм
<р: homM (FM, А) ^ hom^ (М, ? Л)
(абелевых групп). Положим в этом изоморфизме Л = FM; тогда морфизм 1FM из группы, стоящей слева, определяет морфизм ф (1ии) = ем '¦ М-----> D-FM. То, что отображение е:!^--------->?F
§ 6. Относительные резольвенты
341
естественно, устанавливается применением ф к диаграмме
Ытм (FM, FM) Ш homM (FM, FM') С- horn# (FMf М'),
где ц: М -*~М' — некоторый произвольный морфизм. Теперь возьмем произвольный объект А и морфизм а : FM А. Поскольку преобразование ф естественно, диаграмма
hom ? {FM, FM) Д- hom^ (М, ? FM)
Iе*
horn#(FM, A) -> hom^ (M, ? A)
коммутативна. Возьмем морфизм lj-м из группы, стоящей в верхнем левом углу; левым вертикальным отображением он переводится в а, а верхним отображением — в ем; коммутативность диаграммы показывает, что фа = ааем. Поскольку ф-*— изоморфизм,
то тем самым доказано, что каждый морфизм и : М-----------* [JА из
группы, стоящей в правом нижнем углу, имеет вид и = а^ем, причем морфизм а единствен, что и требуется в условии (ii).
Предыдущая << 1 .. 137 138 139 140 141 142 < 143 > 144 145 146 147 148 149 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed