Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Под относительной абелевой категорией ? будем понимать пару отмеченных абелевых категорий & и <S вместе с ковариантным функтором ? : & <М (будем писать ЩЛ = Aq, Qa = aD), который предполагается аддитивным, точным и полным.
Аддитивность означает, что из а, р 6 hom&{А, В) следует (а + Р)п = ап + рп в horry^ (Ла, В0). Отсюда следует, что 0D = 0 и что (Л @ В)о з* Аа @ Во-
Точность означает, что из a [| Р в & следует ад || Рц в аМ. Отсюда следует, что если х — мономорфизм, а сг — эпиморфизм в <#, то xq — мономорфизм, а aa — эпиморфизм в <Л, функтор ? переводит каждый анализ (2.1) морфизма а из ^ в анализ морфизма <*? и, следовательно, из xf ker р следует xq 6 ker Рц и аналогично для coker, im и coim. Более того, ? переводит точные последовательности в точные последовательности.
§ 5. Относительные абелевы категории
337
Полнота означает, что из ап = 0 вытекает а = 0. Отсюда следует, что если Aq = 0', то А = 0', однако из равенства Aq = Bq может не вытекать равенство А = В. Однако если <*? — эпиморфизм (или мономорфизм) в вМ, то а — эпиморфизм (или мономорфизм) в Будем обозначать объекты категории & буквами А, В, С, . . ., а морфизмы а: А -> В греческими буквами и отмечать сплошными стрелками. Объекты категории <М будем обозначать буквами L, М, N, . . ., морфизмы t: L М — малыми латинскими буквами и отмечать штрихованными стрелками.
Говорят, что короткая точная последовательность х || а из А относительно расщепляется (или Орасщепляется), если точная последовательность «? || ад расщепляется в <М, т. е. если oq имеет правый обратный k или (эквивалентно) ха имеет левый обратный t в S. Эта ситуация описывается двумя диаграммами
ко *?
А»В^>С, ЛП”-'_>Ба (5-!)
t k
первая из которых точна в а вторая является диаграммой прямой суммы в <Л. Для простоты мы часто будем заменять их схемой
A^Bt^C, (5.2)
t а
в которой сплошные стрелки относятся к сплошные и штрихованные стрелки относятся к <Ж. Аналогично равенства
/xq=1aq, ах = 0, xq/-|-?(Tq:=
справедливые для диаграммы прямой суммы (5.1), схематично будут записываться как
Ы—\А, сгх = 0, %t-\-ka= 1В, ...,
без знака ?, так что символ Ы есть сокращенная запись произведения fxQ В <з?.
Класс ?-расщепляющихся коротких точных последовательностей допустим в смысле § 4; в этом случае условия предложения 4.1 описывают некоторые морфизмы а из & как допустимые (называемые ? -допустимыми). Подробности указаны в следующем предложении:
Предложение 5.1. Морфизм ос: А -*• В, обладающий стандартным разложением а = Яхт, ?-допустим в относительной абелевой категории ? тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих эквивалентных условий:
(i) Яд имеет левый обратный и сга имеет правый обратный в М;
(ii) (im а)а и (кег а)п имеют левые обратные в <М\
22-353
338
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
(iii) существует такой морфизм и: В—>А в <М, что
(iv) существует такой морфизм v: В —в <М, что одновременно выполнены равенства
dQt>an = <*?, V0qV = v.
Условие (ii) можно прочесть так: образ а является -прямым слагаемым для Вд, а ядро а есть а#-прямое слагаемое для Ла, или двойственно.
Доказательство. Эквивалентность условий (i), (ii) и допустимость а вытекают непосредственно из предложения 4.1. Если tX = 1 и ok = 1, как показано в схеме
о %
А^.т^.В, а = Ха, k t
то для v = kt : В-->А имеем ava = XoktXo = Ха = а и vav = = ktXakt = kt ~ v; этим доказано, что (i) =Ф (iv). Импликация (iv) =Ф (iii) тривиальна. Наконец, для установления импликации (iii) =4> (i) предположим, что аиа — а, и положим а = Ха. Тогда из равенства ХаиХа — Ха следует, что аиХ — 1, так как X — мономорфизм (в Л\), а а—эпиморфизм, т. е. X имеет в оМ левый обратный аи, а ст — правый обратный иХ.
Если X является ^--комплексом в смысле § 3 (с объектами Хп и морфизмами дп из &), то ОХ будет e^-комплексом; поскольку функтор ? точен, отсюда следует, что ? [Нп (X)] ^ Нп (ЩХ).
Теорема 5.2. Если X является №-комплексом (не обязательно положительным), то комплекс [ЦХ тогда и только тогда имеет стягивающую гомотопию s, такую, что ds + sd— 1 и каждый морфизм s„, : Х„—-> Xn+i принадлежит <М, когда все объекты Нп (X) тривиальны и все граничные морфизмы д допустимы. Если эти условия выполнены, то s можно выбрать так, что sz = 0.
Доказател ьство. Если гомотопия s существует, то мы
знаем, что все объекты (X) а* Нп(ОХ) = 0. Но функтор ?
полон, так что Нп (X) = 0. Более того, д = dsd -f sdd — dsd, так что каждый морфизм д допустим в силу условия (iii) предыдущего предложения.
Обратно, предположим, что последовательность • ¦ • Xn+i -v Хп -*¦ Xn-i • • • точна и все морфизмы д допустимы. Возьмем для каждого дп стандартное разложение д — Ха. Тогда комплекс X разлагается в произведение ?-расщепляющихся коротких точных последовательностей Dn Х„ -»Dn-u а каждый объект Хп становится е^-прямой суммой относительно морфизмов t — tn, k— k„,
