Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(i) Р — допустимый проективный объект,
(и) каждый морфизм а: В С из %е индуцирует эпиморфизм hom (Р, В) -» hom (Р, С),
(iii) для каждой допустимой короткой точной последовательности А» В-» С индуцированная последовательность hom (Р, А) >* hom (Р, В) -» hom (Р, С) абелевых групп является точной.
Мы будем говорить, что имеется достаточно допустимых проективных объектов, если для каждого объекта С из Л существует хотя бы один морфизм р: Р -*• С, являющийся допустимым эпиморфизмом, область определения которого — допустимый проективный объект. Понятием, двойственным этому, будет наличие достаточного числа допустимых инъективных объектов.
Любая длинная точная последовательность в абелевой категории может быть записана как произведение Ионеды коротких точных последовательностей; мы назовем длинную точную последовательность допустимой тогда и только тогда, когда каждая из этих коротких точных последовательностей допустима.
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
335
Рассмотрим комплекс • • • Хп Xi -*¦ Х0 —> С —> О
над объектом С из А. Назовем его допустимой резольвентой, если он является допустимой длинной точной последовательностью, и назовем его допустимым проективным комплексом над С, если каждый объект Хп допустимый проективный. Если выполнены оба эти условия, то комплекс называется допустимой проективной резольвентой объекта С.
Теорема 4.3. (Теорема сравнения.) Пусть Щ — допустимый класс коротких точных последовательностей в абелевой категории &. Если у : С -*¦ С' есть морфизм из &, г: X -> С ешь допустимый проективный комплекс над С и г’ : X' -*¦ С' — допустимая резольвента объекта С', то существует цепное преобразование f: X X' морфизмов из &, причем б'/ = 78. Любые два таких цепных преобразования цепно гомотопны.
Доказательство по существу является повторением доказательства для случая модулей (теорема II 1.6.1). Поскольку Х0 — допустимый проективный объект и s':X'0-*-C'—допустимый эпиморфизм, уе: Х0~*- С разлагается в произведение е'/о для некоторого fQ. Теперь мы хотим построить такой морфизм fu чтобы диаграмма
xt—-—+х0Лс 1/1 1/0 Iv
л;_.^х^с'-+о
о X
была коммутативной. Возьмем стандартное разложение д' = hy, указанное в диаграмме; поскольку X' — допустимая резольвента, то kgs'. Но e'f0d = уед = 0, так что /0д представляется в виде произведения f0d — Яр для некоторого р, Я ? кег е\ Так как а — допустимый эпиморфизм, a Xi — допустимый проективный объект, то р = oft для некоторого fi и d'fi = fojfi = Яр = fad, что и требовалось. Построение морфизмов f2, /3, . . . и гомотопии проводится аналогично.
Замечание об инъективных оболочках. Семейство {а<} подобъектов объекта А направлено по включению, если каждая пара подобъектов as, at этого семейства содержится в третьем подобъекте семейства (в очевидном смысле слова «содержится», разъясненном дальше в гл. XII). Абелева категория М удовлетворяет аксиоме Гротендика АВ-Ь, если для каждого объекта А, каждого его подобъекта Ь и любого направленного по включению семейства подобъектов at равенство b Г\ (U«at) ~ = Ut (b at) выполнено в структуре подобъектов и если, кроме того, в М имеются бесконечные прямые суммы. Объект U называется образующим, если для всякого ненулевого морфизма а: А -*¦ В найдется такой морфизм I : U -*¦ А, что а| ф 0. Оба условия выполнены в категории всех Л-модулей, причем Л является образующим. Гротеидик [1957, теорема 1.10.1] показал, что в абелевой категории, обладающей образующим и удовлетворяющей
336
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
аксиоме АВ-5, достаточно инъективных объектов; Митчелл [1962] при этих же предположениях построил инъективную оболочку Экмана — Шопфа. В частности, этим установлено, что в категории пучков над фиксированным топологическим пространством достаточно инъективных объектов. (Хотя в этом случае нет достаточного числа проективных объектов, см. Гротендик [1957], Годеман [1958].)
УПРАЖНЕНИЕ
1. (Характеристика допустимых коротких точных последовательностей с помощью допустимых проективных объектов, см. Хеллер [1958].) Если % — допустимый класс коротких точных последовательностей, удовлетворяющий условию оф ? %е =Ф а ? %е, и если существует достаточно допустимых проективных объектов, то можно показать, что эпиморфизм а: В -*¦ С допустим тогда и только тогда, когда отображение hom (Р, В) -*¦ hom (Р, С) является эпиморфизмом для всех допустимых проективных объектов Р.
§ 5. Относительные абелевы категории
Пусть S — под кольцо кольца R, имеющее ту же единицу, что и R. Некоторые короткие точные последовательности jR-модулей будут расщепляться, если их рассматривать как последовательности S-модулей. Каждый jR-модуль А превращается в S-модуль iA при отступлении вдоль вложения i: S -> R, а отображения, являющиеся ^-модульными гомоморфизмами а : А В, также являются S-модульными гомоморфизмами ьа : tA tB. Значит, ? (Л) = ЬЛ,
? (а) = ta есть функтор ? из категории & всех левых jR-модулей в категорию <М всех левых S-модулей; этот функтор «забывает» или «пренебрегает» частью jR-модульной структуры. Имеется много других примеров, таких, как модули над алгеброй Л и модули над основным кольцом К, как указано во введении к § 4. В каждом из этих примеров имеется аналогичный функтор ?. Сформулируем соответствующие общие свойства таких функторов.
