Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
2. Описать абелеву категорию, объектами которой являются анализы (2.1).
3. Показать, что категория положительных комплексов объектов из абелевой категории М абелева.
4. (Маклейн [1950].) Пусть 4$ — категория с нулевым объектом. Предположим, что для каждой пары объектов А* и Аг существует диаграмма Ai В А2, универсальная относительно пары морфизмов с областью значений В и коуниверсальная относительно пары морфизмов с областью определения В. В каждом множестве hom (А, С) ввести бинарную операцию сложения, как в упраженнии 1.3, и показать, что это сложение коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно умножения.
5. В условиях упражнения 4 предположим дополнительно, что существует такое естественное преобразование : А -у A,4toVa (Va Ф 1а) Да = = 0 для всех А. Используя V, определить —а для каждого морфизма а и доказать, что % превращается в аддитивную категорию.
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
Если А — алгебра над фиксированным основным коммутативным кольцом К, то многие понятия рассматриваются также «относительно К». Каждый левый A-модуль А есть также К-модуль
§ 4. Сравнение допустимых резольвент
333
и каждый Л-модульный гомоморфизм а: А-у В является также К-модульным гомоморфизмом, обратное не всегда верно. Назовем гомоморфизм этого вида «допустимым» относительно (А, К), если существует такой К-модульный гомоморфизм t : В —> А (в обратном направлении!), что ata = а. В частности, мономорфизм а допустим, если существует такой гомоморфизм t, что ta — 1А, т. е. если а обладает левым обратным К-модульным гомоморфизмом t, который может не быть гомоморфизмом А-моду лей. Аналогично A-модульный эпиморфизм допустим тогда и только тогда, когда он обладает К-модульным правым обратным t. Следовательно, короткая точная последовательность х || ст Л-модульных гомоморфизмов допустима, если х обладает левым К-обратным, а ст обладает правым К-обратным. Эти свойства означают, что последовательность (х, ст) превращается в последовательность прямой суммы, если ее рассматривать только как последовательность К-модулей. Более коротко говорят, что эта последовательность А-модулей К-расщепляема (некоторые авторы говорят: слабо расщепляема). Использование такого класса «К-расщепляемых» или «допустимых» коротких точных последовательностей типично для относительной гомологической алгебры. Далее мы покажем, как теорема сравнения для резольвент применяется в любой подобной ситуации.
В произвольной абелевой категории & класс Щ коротких точных последовательностей из & будет называться допустимым, если % вместе с некоторой короткой точной последовательностью (х, ст) содержит все изоморфные ей короткие точные последовательности и если Ш также содержит для каждого объекта & короткие точные последовательности (О, Ц) и (1А, 0).
Будем писать х^ст, если (х, ст) — одна из последовательностей из %, и называть эту последовательность g-допустимой. Назовем мономорфизм х из & допустимым и будем писать х ? Щт, если кШо для некоторого ст; х допустим тогда и только тогда, когда xg (сокег х). Двойственно назовем эпиморфизм ст допустимым и будем писать ст ? %е тогда и только тогда, когда (кег ст) gcr. Поскольку %Ша тогда и только тогда, когда х ? %т и х Ц ст, класс I определяется классом Щт допустимых мономорфизмов или классом Ще допустимых эпиморфизмов. Значит, %е определяет gm; так как мономорфизм х ? Шт тогда и только тогда, когда сокег х ? %е. Если х ? %т, то любой морфизм, эквивалентный х слева или справа, также принадлежит %т.
Непосредственно из свойств анализа морфизма а выводим
Предложение 4.1. Если дан допустимый класс %, то следующие условия, налагаемые на морфизм а, эквивалентны:
(i) im а 6 Шт и coim а 6 Щ,е\
(ii) ker а ? %т и сокег а 6 Ще\
334
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
(iii) в стандартном разложении а = Ха, Х?Шт и а ? %е\
(iv) каждый анализ а состоит из допустимых мономорфизмов и эпиморфизмов.
Морфизм а называется допустимым, если он удовлетворяет этим условиям. Если а вдобавок мономорфизм, то coim а = 1А, так что а допустим и является мономорфизмом тогда и только тогда, когда а ? %т. Аналогично допустимые морфизмы, являющиеся эпиморфизмами, принадлежат %е- Произведение допустимых морфизмов может не быть допустимым.
Например, в категории всех левых Л-модулей К-расщепляю-щиеся короткие точные последовательности образуют допустимый класс и можно показать, что допустимы те морфизмы а, для которых а ta = а для некоторого t в соответствии с данным выше определением. Дополнительные свойства, которые имеются в этом случае, будут изучаться в гл. XII.
Пусть % — произвольный допустимый класс из &. ^-проективным объектом Р (или допустимым проективным объектом) называется такой объект Р ? что для любого допустимого эпиморфизма а: В -*¦ С каждый морфизм у : Р -*¦ С из Л1 можно провести через а: у — ау* для некоторого у': Р-*~ В. Как и прежде, это условие можно сформулировать несколькими эквивалентными способами.
Предложение 4.2. Для заданного допустимого класса Ш коротких точных последовательностей следующие условия, налагаемые на объект Р, эквивалентны:
