Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если im a = ker р, то coim р = = coker (кег Р) = сокег (im a) = сокег a по (2.5) и (2.6), и двойственно.
Предложение 2.6. Короткая лемма о пяти гомоморфизмах справедлива в любой абелевой категории.
Доказательство. Для коммутативной диаграммы
1“ Ip jv .
к’ о'
в которой х || a, х' II о', нужно доказать, что из мономорфности a и у следует мономорфность р, и двойственно. Возьмем ц 6 кег р. Тогда из Рц = 0 следует 0 = а'Рн = 7ац; поскольку у — мономорфизм, сгц = 0. Поэтому ц разлагается в произведение ц = = xv, х 6 кег а, причем v необходимо будет мономорфизмом. Отсюда x'av = pxv = Рц = 0. Но х'иа — мономорфизмы, так что v = 0 и, значит, кег р = ц = xv = 0, т. е. р — мономорфизм, что и утверждалось.
Лемма о пяти гомоморфизмах, лемма о четырех гомоморфизмах и 3 хЗ лемма также верны в любой абелевой категории. Доказательства, которые основаны на некоторой дополнительной технике, будут даны в гл. XII.
§ 2. Абелевы категории
329
Назовем абелеву категорию отмеченной, если
(Выбор 1.) существует функция, ставящая в соответствие каждой паре объектов At и Аг диаграмму прямой суммы в форме, указанной в (1.4);
(Выбор 2.) существует функция, отмечающая единственного представителя к для каждого подобъекта и единственного представителя а для каждого факторобъекта.
В отмеченной абелевой категории мы можем сопоставить объект К как Ядро Для каждого морфизма а: выберем в качестве К область определения отмеченного представителя х: К А класса эквивалентных справа морфизмов кег а. (Заметим, что слово «Ядро» с большой буквы обозначает объект, а с маленькой буквы — морфизм.) Аналогично мы можем сопоставить Коядра и образовать факторобъекты подобъектов; при этом мы действуем так, как будто имеем дело с категорией всех jR-модулей. Различные упомянутые примеры абелевых категорий являются отмеченными; по аксиоме выбора каждая малая абелева категория отмечена.
Замечания о терминологии. Возможность абстрактного построения гомологической алгебры в подходящей категории впервые была показана Маклейном [1950], рассматривавшим «абелеву бикатегорию», которая по существу есть абелева категория с каноническим выбором представителей подобъектов и факторобъектов. При этом канонический выбор оказался излишним и опущен в изложенной в этом тексте переработке, при которой подобъекты не являются объектами. Буксбаум [1955] использовал в своих формулировках точные категории, которые являются абелевыми в нашем смысле без аксиомы о прямых суммах, а в содержательном исследовании Гротендика [1957] введен термин «абелева категория» в смысле, использованном здесь. Другие авторы вкладывают другой смысл в этот термин. Атия [1956] установил теорему Крулля — Шмидта о единственности разложения в прямую сумму с неразложимыми объектами для абелевых категорий, удовлетворяющих условиям обрыва цепей. Теоретико-множе-ственные вопросы, связанные с абелевыми категориями, рассмотрены Маклейном [1961b ]. Различные другие типы категорий могут быть построены путем наложения дополнительной структуры на множества hom (А, В). Так, в градуированных категориях (см. XI 1.4) каждое множество hom (А, В) является градуированной группой, в дифференциальных категориях (Эйленберг — Мур, не опубликовано) каждое множество hom (А, В) является положительным комплексом К-модулей. Можно было бы определить категории с функтором тензорного умножения, удовлетворяющим соответствующим аксиомам, например как при нашем рассмотрении (гл. VI) типов алгебр. Нётеровы категории изучались Габриэлем [1962].
УПРАЖНЕНИЯ
1. Показать, что при выполнении аксиом (Abel-2) и (Abel-З) аксиома (Abel-1) может быть заменена более слабым утверждением о существовании ядра у каждого эпиморфизма и существовании коядра у каждого мономорфизма.
2. В (2.2) показать, что из мономорфностй следует моИОморфность t|t и из мономорфностй |2 следует мономорфность Т]2.
330
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
§ 3. Категории диаграмм
Пусть & — аддитивная категория, и пусть % — малая категория (т. е. класс объектов в % есть множество). Через Dgram ($, &е) обозначим категорию, объектами которой являются ковариантные функторы Т: % -*¦ &, а морфизмами — естественные преобразования функторов /: Т-у S. Сумма двух естественных преобразований f,g:T-*-S определяется для каждого объекта С в равенством (f ~h g) (С) — f (С) + g (С). В Dgram (9S, #) выполняются аксиомы аддитивной категории; в частности, прямая сумма двух диаграмм Ti и Тг определяется как (7\ ф Т2) (С) = (С) © Т2 (С),
т. е. нужно в каждой вершине диаграммы прямой суммы взять указанную прямую сумму. Здесь, как и в 1.8, можно рассматривать каждый функтор Т: % <#¦ как «диаграмму» в <#¦ с «моделью»
Например, если — категория с двумя объектами С, С' и тремя морфизмами 1с, 1с' и 7 : С->- С', то каждый функтор Т : %0->~ & определяется морфизмом Т (7) из так что категория
Dgram (%0, &) является по существу категорией Morph (#-) из § 2, объекты которой — морфизмы категории.
