Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
а X
Здесь и ниже точки отмечают объекты, не обозначенные буквами.
Доказательство. Используя (Abel-З), запишем а в виде а = Хсг; по (Abel-1) существуют морфизмы х 6 ker а = ker а и т ? coker а = coker Я,; по (Abel-2), х [| а и Я [| тт. Доказательство обратного утверждения о том, что из этой теоремы вытекают все три аксиомы, оставляется читателю.
Диаграмма (2.1) называется анализом морфизма а, а а = Ка — стандартным разложением этого морфизма.
Предложение 2.2. Анализ морфизма является
функтором.
Здесь мы рассматриваем анализ (2.1) морфизма а как функтор, определенный в категории =Morph (#) морфизмов из объектами аМ являются морфизмы а: А В из отображениями S: а -*• а' — пары S = (|ь 12) морфизмов категории для которых a'li — Значения этого функтора принадлежат аналогичной категории диаграмм над &. Так как анализ не определен однозначно, наше утверждение более точно означает, что любой выбор анализов, по одному для каждого а, порождает функтор подобного типа.
Значит, если дано S = (|ь 12) : а а' и анализы а и а', то мы утверждаем, что в категории # существуют единственные морфизмы t]i, г|2» Лз, превращающие диаграмму
в коммутативную. (В обычной терминологии г)! — отображение, индуцированное на ядрах и т. д.) Действительно, из a' (?tx) = = ?г®х — 0 следует, что §4х разлагается в произведение |4х = = x'tji, где х' ? ker а'; поскольку на и' можно сокращать слева, морфизм г]! определен однозначно. Двойственно; т'|2 = t]3t для
• Д-* а = Ясг, х || а, %|| т.
(2.1)
---->
а
(2.2)
§ 2. Абелевы категории
327
единственного г]3. Далее, Я'сг'^х = t&v. = 0; поскольку на Я' можно сокращать слева, сг'?4х = 0 и a'h разлагается в произведение cr'lj == т]2сг, о ? сокег х, и морфизм т]2 определен однозначно. Теперь |2Яст = Я'сг'^ = Я'т)^; сокращая на а, получаем ^2Я = Я'rj2.
Этим доказана коммутативность диаграммы и ее единствен^ ность. Примененное к 1:а->а и к двум анализам морфизма а, это доказательство дает эквивалентности тц, т]2, ti3. Отсюда
Следствие 2.3. Анализ (2.1) морфизма а определен однозначно с точностью до эквивалентности трех объектов: область определения х, область значений а—область определениях и область значений т.
В анализе (2.1) однозначно определенный класс морфизмов, эквивалентных справа Я, называется образом а, а однозначно определенный класс морфизмов, эквивалентных слева а, называется кообразом а. Образ а является подобъектом области значений а, кообраз — факторобъектом области определения. Анализ морфизма а : А -*¦ В имеет вид коммутативной диаграммы
кег а , cotm а
• -» А----->•
—. а I im о
^ В (2-3)
footer а ’
•
строка и столбец которой — короткие точные последовательности. Конечно, «кег а» обозначает здесь любрй морфизм из класса кег а. При том же соглашении мы можем выписать следующие соотношения:
(кег а) || (соim a), (ima)||(cokera), (2.4)
coim а = сокег (кег а), im а = кег (сокег а), (2.5)
кег а = кег (coim а), сокег а = сокег (im а). (2.6)
Следовательно, также кег (сокег (кег а)) = кег а и двойственно.
Предложение 2.4. Морфизм а является мономорфизмом тогда и только тогда, когда кег а = 0, эпиморфизмом — тогда и только тогда, когда сокег а = 0, и эквивалентностью — тогда и только тогда, когда и кег а и сокег а равны нулю. В частности, морфизм, являющийся одновременно мономорфизмом и эпиморфизмом, есть эквивалентность.
Запись кег а = 0 есть сокращение 0 ? кег а; она означает, что каждый элемент класса кег а является нулевым морфизмом.
Доказательство. В определении мономорфизма содержится утверждение, что правыми аннуляторами мономорфизма а
328
Гл. IX. Относительная гомологическая алгебра
являются только нули, значит, необходимо, чтобы кег а = 0. Обратно, если 0 6 кег а, то каждый правый аннулятор а имеет 0 множителем и поэтому сам равен нулю, так что а — мономорфизм по определению. Доказательство для эпиморфизма а двойственно, оба доказательства используют только аксиомы аддитивной категории. Наконец, эквивалентность а одновременно есть и мономорфизм, и эпиморфизм, так что кег а = 0 = сокег а. Обратно, если кег а = 0 = сокег а, то 1 ? кег 0 = кег (сокег а) = ima по (2.5), так что im а эквивалентен 1 и, значит, есть эквивалентность. Двойственно, coim а есть эквивалентность, а поэтому а = (im a) (coim a) также есть эквивалентность.
Точные последовательности действуют, как обычно, и могут быть определены двумя (двойственными) способами.
Предложение 2.5. Если произведение Ра определено, то im а = кег Р тогда и только тогда, когда coim р = сокег а.
Если эти условия выполнены, то мы скажем, что пара (a, Р) точна. В частности, из х || а следует, что пара (х, сг) точна.
