Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
(Л u h') (ж0, ..., хп) = h (лг0, ..., xh) ® h' (xh, ..., Xn), n = k + m.
(9.8)
Эта функция h и h', очевидно, является П-модульным гомоморфизмом в модуль Л ® Л' с диагональными операторами, т. е. в модуль ^(Л ® Л').
В частности, если и Л, и Л' совпадают с кольцом Z с тривиальными операторами (Z = eZ), то $(eZ ® eZ) совпадает с eZ. Отсюда следует, что Нк (П, eZ) — это коммутативное градуированное кольцо относительно симплициального и-умножения.
Теорема 9.2. При изоморфизме Нп (П, Л) Ext2(n) (Z, Л), где Л — произвольный П-модуль, симплициальное ^-умножение переходит в \/-умножение Хопфа, определенное в Ext.
Доказательство основано на замечании, что диагональное отображение
®: Р (П) —» ч>[Р (П) ® р (П)]
комплексов П-модулей перестановочно с пополнением и, следовательно, является сравнением резольвенты е : В (П) ->Z с резольвентой, определяемой отображением ^[р (П) 0 р (П)] -+Z. Обе группы Нп и Ext” совпадают с Ня (Р (П), Л). Далее V-умножение Хопфа из (4.5) равно где рн — когомологическое умножение, a ip# — замена колец, индуцированная отображением ij): Z (П) ->--vZ (П) 0 Z (П). По теореме II 1.6.7 эта замена колец может быть представлена как произведение где г|з* отображает
HomZ(n)®z(n) в Нош2(П), а /: Р (П) -»-ф[р (П) <g> Р (П)] — сравнение. Возьмем в качестве / сравнение со; тогда г|з#рн превращается в а>*0р*рн, т. е. в симплициальное и-умножение.
§ 9. KJ -умножения
317
Таким образом, и-умножение в кольце когомологий Я* (П, Z) можно определить тремя эквивалентными способами:
(i) как симплициальное ^-умножение;
(ii) как V -умножение, индуцированное диагональным отображением г|э;
(iii) как умножение Ионеды длинных точных последовательностей.
Еще одно, четвертое, определение будет дано в гл. XII и облегчит вычисления в примерах.
Одним из приложений является «теорема редукции для и-умно-жения». Предположим, что П = FIR, где F — свободная мультипликативная группа. Пусть [.R, R] — коммутант группы R; положим F0 = F/IR, R], R0 = R/IR, R]• Тогда R0 — абелева группа иП@ Fq/Ro, так что F0 есть расширение группы R0 при помощи группы П с системой факторов /0 — двумерным коциклом из П в П-модуль R0. Для любого П-модуля A, Homz (R0, А) есть П-модуль, операторы в котором действуют по следующему правилу: если a: R0 ->Л, то (.га) г = х [а (лс-1г) ], в то время как отображение a (g> г аг есть спаривание Нот (R0, A) ® R0 А. Внутреннее kj-произведение n-мерного коцикла и /0 определяет гомоморфизм
Нп (П, Horn (R0, А)) -» Я™ (П, А).
Теорема редукции для u-умножения утверждает, что это есть изоморфизм для п > 0. Эта теорема принадлежит Эйленбергу и Маклейну [1947]; изящное доказательство, использующее относительные когомологии и характеристический класс (IV.6) расширения, дано Суоном [1960] и приводится ниже в IX.7, упражнения 7—10.
Как было показано в IV.11, группы когомологий Нп (П, Z) являются сингулярными группами гомологий пространства Х/П, если П действует собственным образом на ациклическом пространстве X. В этом случае сравнение, очевидно, сохраняет симплициаль-ную структуру и, следовательно, w-умножение, так что Я (П, Z) еэ а* Я (Х/П, Z) есть изоморфизм колец когомологий.
УПРАЖНЕНИЕ
1. Показать, что для резольвенты Р (П) с неоднородными образующими IV (5.11) операторы вырождения и граней определяются равенствами
....хп\) = х[хI, ..., 1, xt, ..., Xn), 0<*'<«,
j' xxt [x2, ..., xn], /=0,
dt(x[xu ..., *„]) = \ x[xlt ..., xtxi+1, ..., Xn], 0<г<я,
I i=n,
318
Гл. VIII. Умножения
и что отображение © для отображения Александера — Уитни f определяется формулой
п
со (х [*11 ... I хп]) = 2 * [*11 ... I *;] ® XXI... XI [Xi+i | ... I Хп].
1=0
Замечания. Топологическое рассмотрение ij-умножения (в иной терминологии) см. в книге Хилтона и Уайли [1960]. Об vj-умножении для групп см. работы Эйленберга—Маклейна [1947], Экмана [1945—1946], [1954]. Расслоенное пространство можно рассматривать как разновидность «закрученного» декартова произведения; имеется соответствующая «закрученная» формулировка теоремы Эйленберга — Зильбера (Браун [I960], Гугенгейм [1960], Щарба [1961]). Симплициальные расслоенные пучки рассматривались Барратом — Гугенгеймом — Муром [1959].
ГЛАВА IX
Относительная гомологическая алгебра
Введение. Когда мы описывали элементы из Ext71 (С, Л) как длинные точные последовательности, идущие от Л к С, то мы предполагали, что А и С являются левыми модулями над кольцом. С тем же успехом можно было бы предположить, что они являются правыми модулями, бимодулями или градуированными модулями. Эффективное описание этой ситуации достигается предположением, что Л и С являются объектами некоторой категории с соответствующими свойствами: а именно категории, в которой можно складывать морфизмы и могут быть построены ядра и коядра. Первые три параграфа этой главы посвящены описанию таких «абелевых» категорий.
