Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
е (и) = 2 иг — (i — 1); тогда (—l)8**1) есть знак ассоциирован-
i=i
ной перестановки t.
Теорема 8.8. Для любых симплициальных модулей А и В естественное цепное преобразование g из теоремы Эйленберга — Зильбера определяется формулой
g (а (8> 6) = 2 (~ 1)'(|1> (**«•'¦ \а х S'
(и. v)
где а ? Ар, Ъ 6 Bq, а сумма берется по всем (р, q)-перетасовкам О*, v).
Очевидно, что отображение g естественно, элемент a (g) Ь имеет размерность p+q и что элемент, определяемый Sy . . . sVl а и snp • • • 5^6, имеет ту же размерность. Доказательство того, что g есть цепное преобразование, заключается в непосредственной проверке, которую мы опускаем (детали можно найти у Эйленберга и Маклейна [1953b § 5], где впервые были введены перетасовки).
С геометрической точки зрения указанная функция g порождает «триангуляцию» декартова произведения Арх А9 двух симплексов. В частности, положим а — хр в Мр и b = xq 6 Mq, так что у-р имеет вершины (0, 1, . . ., р). В этих обозначениях
Syq . . . SvtXP— (to, iii • • •* ip+q)i
312
Гл. VIII. Умножения
где 0 = . .< ip+q — р и ift = /*+\ в точности тогда,
когда k — одно из чисел v1( . . vq. Аналогично =
— (/о, • • •, jp+q), причем jk = jh+i тогда и только тогда, когда k есть одно из чисел цр. Симплекс, стоящий в правой
части формулы (8.9), имеет в нашем случае вид
(i0) ... | ip+q) X (/о, • • • j jp+q)i
где первый множитель вырожден по тем индексам k, по которым второй не вырожден. Этот символ может быть истолкован как (р + ^)-мерный аффинный симплекс с вершинами (ih, /А) в произведении АрхД9. Эти симплексы, взятые для всех (р, q)-перетасовок, порождают симплициальное подразбиение ApxA9-Например, если р = 2, q — I, то А2хАх — это треугольная призма, и три возможные (2,1)-перетасовки разбивают эту призму на три симплекса
(0122) X (0001), (0112) х (ООП), (0012) х (0111),
каждый из которых имеет размерность три.
Это описание показывает также, что если один из множителей а или b вырожден, то и каждый член из правой части формулы (8.9) вырожден. Тем самым доказывается справедливость следствия 8.9.
Следствие 8.9. Перетасовочное отображение g из (8.9) индуцирует цепное преобразование нормализованных цепных комплексов
. gN: KN (Л) ® KN (В) -> KN (А х В).
Для этих нормализованных комплексов можно показать, что произведение fNgN равно единице (не требуется никакой гомотопии
1 СИ fNgN)-
УПРАЖНЕНИЯ
1. Указать вторую явную формулу для /, переставив в (8.7) первую-и последнюю грани.
2. Установить ассоциативность перетасовочного отображения g.
3. Доказать теорему § 6 о нормализации методом ацикличных моделей.
4. Показать, что теорема Эйленберга — Зильбера верна для симпли-циального правого ^-модуля А и симплициального левого ^-модуля В над любым кольцом R.
5. Вычислить целочисленную гомологию тора S1 X S1, зная гомологию окружности S1 (теоремы Эйленберга — Зильбера и Кюннета).
§ 9. Kj-умножения
313
§ 9. U-умножения
Для любого симплициального множества U равенство Аи = = и х и определяет симплициальное отображение А : U -> Ux U, называемое симплициальным диагональным отображением. Множество U определяет симплициальную абелеву группу FZU и, следовательно, цепной комплекс К (FZU), который мы будем записывать просто как К (U); каждая группа Кп {Щ есть свободная абелева группа, порожденная множеством Un, а дифференциал д = 2 (—1 )ldt. Диагональ индуцирует цепное преобразование К (U) -*• К (UxU), которое также обозначим через А. Если / — одно из естественных отображений из теоремы Эйленберга — Зильбера, то произведение
a> = fA:K(V)->K(U xU)-+ K(U)®K(U) (9.1)
называется диагональным отображением в К (U)- Поскольку / определено с точностью до естественной цепной гомотопии, то же самое верно и для ю. Поскольку А ассоциативно, т. е. (A X 1) А = = (1 X А) А, а / ассоциативно с точностью до гомотопии (предложение 8.7), существует гомотопия (со ® 1) ® ~ (1 ® ®) со. Комплекс К (U) пополняется отображением е (и) = 1 для и 6 U0-Мы утверждаем, что существуют гомотопии
(е® 1)©~1 ой(1 ®е)©:/С(У)-*К(У). (9.2)
Действительно, каждое из отображений (е®1)о> и (1®е)со естественно и совпадает с тождественным в размерности 0, поэтому естественные гомотопии можно построить, используя ацикличные модели Мп (рассматриваемые в этот момент как симплициальные множесгва U). Далее, равенства в (9.2) и в ассоциативности — это в точности условия VI (9.1), необходимые для того, чтобы сделать © коумножением с коединицей е, так что можно сказать, что К (U) с диагональю ю есть дифференциальная градуированная коалгебра «с точностью до гомотопий».
Если в качестве / мы выберем отображение Александера — Уитни, то со станет ассоциативным и легко проверить, что
(е ® 1) © = (1 ® е) ю. То есть при этом выборе К (U) стано-
вится дифференциальной градуированной коалгеброй и, значит, таковым является и нормализованный комплекс Kn (JJ).
