Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Биология -> Маклейн С. -> "Гомология " -> 130

Гомология - Маклейн С.

Маклейн С. Гомология — М.: Мир, 1988. — 535 c.
Скачать (прямая ссылка): gomologiya1988.djvu
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 227 >> Следующая

Теорема 8.5. Для произвольных симплициальных модулей А и В естественное цепное преобразование f: К {А X В) К (А)
0 К (В) из теоремы Эйленберга — Зильбера задается формулой
f(axfe)= ^dft"ia0dj6, а?Ап, b?Bn. (8.7)
f=0
Доказательство. Поскольку отображение f определяется операторами граней, оно естественно и сводится к тождественному в размерности нуль. Остается доказать, что df (aXb) = = fd (aXb); ввиду естественности это достаточно доказать для элементов а = xn = b модели Мп. Но хп = (0, 1, . . ., п), dn-lKn — это симплекс (0, 1, . . г) и
/(Х«ххп)= 2(0, (*, * + 1, л). (8.8)
i=0
В выражении для df (хпхх”) последняя грань каждого первого множителя сокращается с членом, появляющимся из начальной грани второго множителя, а остальные члены в совокупности дают fd (хп хяп), что и требовалось.
Цепное преобразование / из (8.7) известно как отображение Александера — Уитни, поскольку оно появилось в топологии при одновременном и независимом определении этими авторами и-умножения. Явное выражение для отображения f, вычисленное из нашей стягивающей гомотопии, отличается от отображения Александера — Уитни только вырожденными членами. Кроме того, имеет место
Следствие 8.6. Отображение Александера — Уитни f индуцирует цепное преобразование ассоциированных нормализованных цепных комплексов
fn ’• Kn (А X В) —> KjyA ® KNB.
310
Гл. VIII. Умножения
Доказательство. По определению KnA = KAIDA; рассмотрим KnA <g> KNB, используя (3.3) как фактор комплекс комплекса КА ® КВ по подкомплексу, порожденному образами DA ® КВ и КА ® DB. Предположим, что элемент а X b 6
6 К (А х В) из (8.7) вырожден, т. е. имеет вид sha' X shb' для некоторого k. В каждом члене правой части равенства (8.7) один из множителей вырожден. А именно если ?<&, то (5.8) показывает вырожденность dlshb’, а если i > k, то вырожден множитель d^Ska', откуда и вытекает доказываемый результат.
С геометрической точки зрения / является «аппроксимацией диагонали». Рассмотрим, например, декартово произведение А1хА1 двух одномерных симплексов (= интервалов); оно является квадратом с четырьмя вершинами. Алгебраически А1 представляется комплексом К (ЛР); в Kn (М1) ® Kn (Л41) группа одномерных цепей является свободной группой с четырьмя образующими, соответствующими четырем сторонам квадрата. Диагональ квадрата непосредственно как цепь не появляется. Однако элемент
/ (х1 X х1) = (0) ® (01) + (01) <8> (1)
является цепью, представляемой суммой левой и верхней сторон квадрата. Эта цепь «гомотопна» диагонали и, следовательно, есть «аппроксимация» диагонали. Заметим, что сумма нижней и правой сторон квадрата дает другую аппроксимацию, которая могла бы быть получена алгебраически путем изменения ролей начальной и конечной граней в формуле (8.7). Сравнение этих двух различных аппроксимаций диагонали приводит к операциям Стинрода второй степени (Стинрод [1953], Мил нор [1958], Дольд [1961], Стинрод — Эпштейн [1962]).
Для трех симплициальных модулей А, В и С любое естественное отображение Эйленберга — Зильбера / можно итерировать так, как указано в последовательности
К (А х В х С) Л К (Л) ® К (В х С) К (А) ® К (В) ® К (С).
Предложение 8.7. Любое естественное отображение f ассоциативно с точностью до гомотопии в том смысле, что существует естественная цепная гомотопия (1 <8> /)/—(/ <8> !) /• Отображение Александера — Уитни ассоциативно.
Доказательство. Поскольку и отображение (1 <8> /) /, и отображение if <8> 1) / тождественны в размерности нуль, естественная гомотопия между ними может быть построена методом ацикличных моделей. Ассоциативность (без необходимой гомотопии) отображения Александера — Уитни может быть установлена непосредственно с использованием, например (8.8).
§ 8. Теорема Эйленберга ¦— Зильбера
311
Для описания второго отображения g из теоремы Эйленберга — Зильбера мы введем некоторые «перетасовки». Если р и q — неотрицательные целые числа, то (р, q)-nepemacoem (ц, v) — это разбиение множества [р + q — 1 ] целых, чисел на два непересекаю-щихся подмножества fii < . . . С и vt v9 из р и q
чисел соответственно. Такое разбиение описывает возможный способ размещения колоды из р карт в колоде из q карт, при котором карты первой колоды кладутся по порядку на места . . . . . ., (ip, а карты второй колоды кладутся по порядку на места Vi, . . vg. Перетасовка может быть также описана как последовательность движений в структуре точек (т, п) плоскости с целыми координатами: в момент времени 0 начнем с точки (0, 0), во время k передвинемся направо, если k — одно из чисел . . . . . ., и вверх, если k есть одно из чисел vt, . . ., \q; в результате получается «лестница», идущая от (0, 0) до (р, q). Можно определить (р, q)-перетасовку как такую перестановку t множества целых чисел {1, . . ., р + q}, что t (i) < t (j) всякий раз, как i < /<р или р < i < j; действительно, каждая такая перестановка t определяет как t (i) — 1 и vj как t (р + j) — 1, и обратно. Сигнатура г (|х) перетасовки (ц, v) — это целое число р
Предыдущая << 1 .. 124 125 126 127 128 129 < 130 > 131 132 133 134 135 136 .. 227 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed