Гомология - Маклейн С.
Скачать (прямая ссылка):
§ 8. Теорема Эйленберга—Зильбера
307
Ко (А х?) = Ав <8> В0 = Ко (^) <8> Ко (В), и мы можем взять в качестве отображений / и g из (8.4) тождественное отображение в размерности нуль.
Лемма 8.2. Для симплициальных модулей А и В существует естественное цепное преобразование f: К (АхВ) К (Л) <g> <8> К (В), которое является тождественным в размерности нуль. Любые два таких естественных отображения f цепно гомотопны, причем гомотопия естественна.
Доказательство. Поскольку отображение f0 дано, предположим по индукции, что отображения fq уже определены для всех q < п, естественны на Кч (АхВ) и dfq — fq-id. Мы хотим определить fn так, чтобы dfn = fn- td; сначала мы сделаем это для произведения кпхк" двух базисных цепей модели А = Мп = В. При этом требуется, чтобы dfn (хп х xn) = fn-id (xnxxn). Однако элемент е, стоящий справа, уже определен, причем де = 0 (или ее = 0, если п = 1); значит, он является циклом в комплексе К (Мп) (8) К (Мп), который ацикличен как тензорное произведение двух ацикличных комплексов (предложение 7.1). Следовательно, в этом комплексе имеется цепь с размерности п, для которой дс = е. Мы полагаем /п (хп х хп) = с, так что
dfn (хп х хп) = дс = fn-i д (хп х х”). (8.6)
Теперь рассмотрим элементы а ? Ап, Ь 6 Вп. По предложению 7.2 существуют симплициальные отображения а : Мп А, Р : М.п —>" В, для которых ах" = а, 0хп = Ь. Тогда К (а) : К (Мп)->-
К (Л) является цепным преобразованием, которое мы также обозначим через а, и а <g) (5 : К [Мп) <8> К (Мп) К (Л) ® К (В) также является цепным преобразованием. Положим fn (а х Ъ) = = (a (g> Р) с, где с — тот же элемент, что и в (8.6). Поскольку симплициальные отображения а и 0 единственны, левая часть этого равенства билинейна по а и Ь и поэтому определено отображение fn : Кп (Л хВ) [К (Л) ® К (В) ]„. Более того,
dfn (axb) = d(a® р) с= (а (8) 0) дс = (а <g> Р) fn-t д (хп х хп).
Так как отображение fn-1 естественно, то
dfn (axb) — fn-t д (ах” х Рхп) = t д(ах Ь).
Таким образом, / является цепным преобразованием до размерности п.
Чтобы подготовить следующий индуктивный шаг, остается показать, что fn естественно. Пусть т): А ->- А', ?: В-*- В’ — произвольные симплициальные отображения, и пусть ца — а‘, Zb = b\ Тогда т|ахп = г\а=а” для щ : Мп-*• А' и, значит, rja — единственное симплициальное отображение, переводящее хп
20*
308
Гл. VIII. Умножения
в’ а. Следовательно,
(Л ® ?) fn (а X b) = (ri <g> ?) (а 0 Р) с = (ria 0 ?0) с = /п (a' х Ь')
и /п естественно.
Пусть теперь f и /' — два цепных преобразования, удовлетворяющих нашему условию. По индукции мы можем предположить, что tq : Kq (АхВ) -у (К (Л) 0 К {B))q+i будут отображения, определенные для 9 = 0..........п — 1, причем dt + td —
= f — /' в размерностях qCn. (Для q = 0, fо = f’0, так что выберем t0 = 0.) Мы вновь определим tn сначала на хпх ха. Потребуем, чтобы
dtn (хл xxn) = f (хп xxn)-f (хп х xn) - tn-i д (хп х хп).
По индуктивному предположению д (f — /” — td) = 0, так что правая часть является циклом в ацикличном комплексе, и, следовательно, есть граница некоторой цепи d. Положим далее tn(xnxxn) = d, tn (а X b) = (а 0 |3) d, а и Р таковы, что aхп=^а, Pxa = b. Рассуждениями, подобными предыдущим, устанавливаются естественность tn и равенство dtn + /n_td — f — /' для всех aXb.
Лемма 8.3. Для симплициальных модулей А и В существует естественное цепное преобразование g: К (А)0К (В)К (АхВ), которое в размерности нуль является тождеством. Любые два таких преобразования g гомотопны, причем цепная гомотопия естественна по А и В.
Доказательство аналогично. Типичная цепь размерности п из К {А) 0 К (В) HMeef вид а 0 Ь, где а 6 КР (Л), b 6 Кч (В) и р + -f- q = п. Используем модели Мр и Mq и отображения a: Mv -уА, |3: М* -*-В, для которых ах? = a, fix9 = Ъ. Теперь комплекс К (МрхМ9) ацикличен, так как гомотопии s из (7.1) для Мр и Mq порождают стягивающую гомотопйю s (а х b) = saXsb в К (MpxMq). С использованием этой ацикличности построение g проводится так же, как и выше.
Таким образом мы получили цепные преобразования fug, указанные в теореме; остается установить гомотопии 1 ~ fg, 1 ~gf. Они строятся в точности тем же методом; например, гомотопия 1 ^ в К (АхВ) получается путем сравнения h — 1
'с h’ —gf,c использованием ацикличности комплекса К(МрхМр), как показано в следующей лемме:
Лемма 8.4. Если h, h': К (АхВ) ->• К (АхВ) суть два естественных цепных преобразования, равных тождественному отображению в размерности нуль, то существует естественная^цепная гомотопия t: h ~ h‘.
§ 8. Теорема Эйленберга — Зильбера
309
Эти доказательства на самом деле конструктивны: явные формулы для fug могут быть найдены путем определения цепи с, использованной на каждом шаге индукции [например, в (8.6) 1 из точных формул для стягивающих гомотопий, данных в доказательстве предложения 7.1 для моделей. Нам не потребуются явные выражения для гомотопий 1 ~ fg, 1 ~ gf, однако явные формулы, полученные таким способом для / и g, полезны. Для того чтобы выписать их, обозначим «последнюю» грань в симплициальном объекте 5 через d, т. е. для а из Sn положим da = d^a. Значит, для любого показателя п — i имеем dn~l а = di+i . . . d^a.
